[กิตติ]

ข้อ 9 ตอนที่ 3.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n!+10$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ข้อนี้มีเฉลยแล้ว และใช้ mod.....ถ้าความรู้แค่ม.ต้นจะหาคำตอบได้ไหม ไม่ใช้mod...
คงเคยเจอโจทย์แบบนี้ไหมครับ....จงหาว่า $100!$ มีศูนย์ทั้งหมดกี่ตัว...ผมประยุกต์ตรงนี้มาช่วยแก้โจทย์
จากที่เราให้$n!+10=m^2$ เห็นชัดๆแล้วว่า $m^2 \geqslant 11$ เนื่องจาก$m,n\epsilon \quad I^+$
ดังนั้นค่าแรกของ$m$ คือ $m^2\geqslant 16$ เราได้$n=3$
ต่อไปหาว่ามีค่าอื่นอีกไหม.....$5!=120$ และ$10!=3628800$
ดังนั้นตั้งแต่$10!$ เป็นต้นไปจะลงท้ายด้วย $00$ ซึ่งเมื่อบวกกับ$10$ แล้วจะลงท้ายด้วย $10$
สังเกตว่ากำลังสองสมบูรณ์ที่ลงท้ายด้วย $0$ นั้นจำนวนแรกคือ $100$ สร้างจาก$10^2$....เราไม่สามารถสร้างจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์ที่ลงท้ายด้วยเลข $0$ ตัวเดียวได้ ดังนั้น$n\geqslant 10$ จะไม่มี$n!+10$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ที่เหลือคือเช็คค่าของ$n=4,5,6,7,8,9$
ได้ค่า$n!+10$ เท่ากับ $34,130,730,5050,40330,362890$ ซึ่งไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ถ้าจะดูว่าตั้งแต่$5!$ เป็นต้นไปนั้น ผลบวกของ $n!+10$จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้เมื่อผลคูณของ $n!$ ในหลักสิบลงท้ายด้วยเลข $9$จึงจะรวมกับ$1$ ได้เป็นเลขลงท้ายด้วย $00$...ซึ่งเป็นไม่ได้เพราะ ไม่มีเลขอะไรที่คูณกับสองแล้วให้เลขลงท้ายเป็น$9$....แค่นี้ก็สรุปได้เลย
ดังนั้นเหลือคำตอบเดียวคือ $n=3$
ไม่รู้ว่าจะอธิบายแบบนี้พอไหวไหมครับ ช่วยผมดูหน่อยครับ