[tatari/nightmare]

ให้$Q(x)=P(x)-1$ ต่อไปจะแสดงว่า $Q(x)=0 ,\forall x\in\mathbb{R}$ ซึ่งเราจะใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ขั้นฐาน จากสมการที่กำหนดให้มาแทน $x=0$ ได้ $(-1)P(0)+1=0$ นั่นคือ $P(0)=1$
$\therefore Q(0)=P(0)-1=1-1=0$
ขั้นอุปนัย สมมติให้ $k\in\mathbb{N}\cup {0}$ ซึ่ง $Q(k)=P(k)-1=0$ จากสมการเดิมได้
$\frac{(x-1)P(x)+1}{x}=P(x+1)$ พิจารณา $Q(k+1)=P(k+1)-1=\frac{(k-1)P(k)+1}{k}-1$
$=\frac{(k-1)P(k)+1-k}{k}=\frac{kP(k)-P(k)+1-k}{k}=\frac{(kP(k)-k)-(P(k)-1)}{k}$
$=\frac{kP(k)-k}{k}=P(k)-1=0$ $\therefore Q(k+1)=0$
นั่นคือ $0=Q(0)=Q(1)=Q(2)=....$ สรุปได้ว่า $Q(x)$ มีรากเป็นอนันต์
ซึ่งจะขัดแย้งกับเงื่อนไขที่ว่า $Q(x)$ เป็นพหุนาม
$\therefore Q(x)=0 \forall x\in\mathbb{N}\cup{0}$ ซึ่งจะสามารถขยายจากเซต N ไป R ได้โดยง่าย
$\therefore P(x)-1=0 ,\forall x\in\mathbb{R}$
นั่นคือ $P(x)=1 ,\forall x\in\mathbb{R}$ #