สวัสดีเจ้าค่ะ... พอดีว่าในกองโจทย์เก่าที่เคยทำมีข้อที่บังเอิญพิสูจน์ข้อความนี้ได้ด้วยน่ะเจ้าค่ะ คราวนี้ก็ต้องใช้แคลคูลัสนิดนึง แต่น้อยลงกว่ารอบก่อนเยอะแล้วนะเจ้าคะ
เราจะมาพิจารณาพื้นที่ใต้โค้ง $f(x)=sin^n x$ บนช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$ กันนะเจ้าคะ พื้นที่ดังกล่าวคือ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin^n x dx$
บนช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$ เราจะได้ว่า $0 \leqslant sin x \leqslant 1$ โดยที่เป็นสมการเมื่อ $x=0,\frac{\pi}{2}$ เท่านั้น ดังนั้นเราจะได้
$$sin x \geqslant sin^2 x \geqslant sin^3 x \geqslant ...$$
และผลตามมาก็คือ
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin x dx > \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin^2 x dx > \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin^3 x dx > ...$$
คราวนี้เรานิยามให้ $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin^n x dx$
จะเห็นว่า $I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dx = \frac{\pi}{2}$ และ $I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin x dx = 1$
ต่อไปโดย integration by parts
\[\begin{array}{cl}
I_n = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin^n x dx \\
= & [-(cos x)(sin^{n-1} x)]_0^\frac{\pi}{2} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,(n-1)(cos^2 x)(sin^{n-2} x) dx\\
= & (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,sin^{n-2} x - sin^n x dx\\
= & (n-1)(I_{n-2} - I_n)
\end{array} \]
ดังนั้น $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$
แยกกรณีจำนวนคู่กับจำนวนคี่ จึงได้ว่า
$$I_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}, I_{2n-1}=\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$$
เมื่อ $(2n)!!=(2n)(2n-2)...4 \cdot 2$ และ $(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)...3 \cdot 1$
เมื่อครู่เรารู้แล้วว่า $I_{2n}<I_{2n-1}$ จึงได้ว่า $\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!} \rightarrow \frac{(2n-1)!!(2n-1)!!}{(2n)!!(2n-2)!!}\frac{\pi}{2} < 1$
จัดรูปจะได้ว่า $[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]^2 < \frac{1}{\pi n}$ หรือ
$$\frac{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot ... \cdot (2n)} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} < \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$$
นั่นเองเจ้าค่ะ
นอกจากนี้เรายังพิสูจน์ Wallis' product ได้จากตรงนี้ด้วยเจ้าค่ะ
สังเกตว่า $I_{2n} < I_{2n-1} < I_{2n-2}$ จะได้
$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!} < \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\frac{\pi}{2}$$
นั่นคือ
$$\frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n-1)!!} < \frac{(2n-3)!!(2n)!!}{(2n-2)!!(2n-1)!!}\frac{\pi}{2} = \frac{2n}{2n-1}\frac{\pi}{2}$$
จัดรูปต่อจะได้ว่า
$$\frac{2n}{2n+1}\frac{\pi}{2} < \frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n+1)!!} < \frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}\frac{\pi}{2}$$
ลิมิตของทั้งสองข้างลู่เข้าหา $\frac{\pi}{2}$ ดังนั้น $\lim_{n \to \infty} frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n+1)!!} = \frac{\pi}{2}$ ด้วย
หรือก็คือ
$$\prod_{n = 1}^{\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{\pi}{2}$$
นั่นเองเจ้าค่ะ
|