จงแสดงว่า
$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc} } +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+8ac} } +\frac{c^2}{\sqrt{c^2+8ab} } \geqslant 1$
ช่วยดูให้หน่อยได้ไหมครับว่าใช้ได้ไหม
วิธีของผมครับ
โดย Am-Gm ได้ว่า
$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+8bc} } +\frac{b^2}{\sqrt{b^2+8ac} } \frac{c^2}{\sqrt{c^2+8ab} } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } $
และจาก Am-Gm พบว่า
$a^2+8bc\geqslant 2\cdot a\sqrt{8bc} $
ในทำนองเดียวกัน ได้ว่า
$b^2+8ac\geqslant 2\cdot b\sqrt{8ac} $
และ $c^2+8ab\geqslant 2\cdot a\sqrt{8ab} $
ทำให้
$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{2a\cdot \sqrt{8bc} \cdot 2b\cdot \sqrt{8ac} \cdot 2c\sqrt{8ab} } } } $
$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{128\sqrt{2} } abc} } $
$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{128\sqrt{2} } } }$
แต่ การใช้ AM-GMครั้งที่ 2 ของผม จะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ
$a^2=8bc,b^2=8ac,c^2=8ab$
ซึ่งเกิดข้นพร้อมกันไม่ได้ ทำให้
$\sqrt[3]{\frac{abc}{\sqrt{(a^2+8bc)(b^2+8ac)(c^2+8ab)} } } >3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{128\sqrt{2} } } }$
นั่นเอง
เพิ่งหัดทำอ่ะครับ
อาจดูไม่ค่อยสวยเท่าไหร่