43. เท็จ ครับ ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุด
พิสูจน์ : ให้ $x\in\mathbb{R}$
กรณี 1: $x$ เป็นจำนวนตรรกยะ
เนื่องจาก $\mathbb{Q}^c$ เป็น dense set ใน $\mathbb{R}$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนอตรรกยะ $x_n\to x$ จะเห็นว่า $f(x)=1$ แต่ $f(x_n)=0, \, \forall n\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x_n)\not\to f(x)$
กรณี 2: $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
เนื่องจาก $\mathbb{Q}$ เป็น dense set ใน $\mathbb{R}$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนตรรกยะ $x_n\to x$ จะเห็นว่า $f(x)=0$ แต่ $f(x_n)=1, \,\forall n\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x_n)\not\to f(x)$
44. จริง ตามสัจพจน์ของ Topology
45. เท็จ $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty}\big( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\big) =\{ 0 \}}$ เป็นเซตปิด
46. เท็จ $\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}\big[ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\big] =(0,1]}$ ไม่เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิด
47. จริง ตามสัจพจน์ของ Topology
ป.ล. ยังเหลือข้อ 38,40 ครับ
