อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
แหมม พี่ noonuii นี่ รวดเร็วจริงๆครับ เหมาไปเกือบหมดทีเดียว ต่อเลยนะครับ
ให้ $A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ ที่มีค่าเฉพาะ (eigenvalue) เป็น $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ แล้วจะได้ว่า
48. $ \displaystyle{ \det (A) = \prod_{k=1}^{n} \lambda_i }$
49. เซตค่าเฉพาะของ $A^{-1} = \{ \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, ..., \frac{1}{\lambda_n} \}$
50. ผลบวกเฉียงของเมทริกซ์ $ \displaystyle{ trace (A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i }$
|
จริงทั้งสามข้อครับ
ข้อ 48,50 มอง $A$ ให้เป็น complex matrix เราจะได้ว่ามี invertible matrix $P$ ซึ่งทำให้
$$A=P^{-1}JP$$
เมื่อ $J$ เป็น triangular matrix ที่ main diagonal เป็น eigenvalue ของ $A$ (เราเรียก $J$ ว่า Jordan form ของ $A$)
เนื่องจาก trace($AB$) = trace($BA$) เราจะได้ว่า trace($A$) = trace($J$) = ผลบวกของ eigenvalue ของ $A$
เนื่องจาก determinant เป็น multiplicative function เราจะได้ det($A$) = det($J$) = ผลคูณของ eigenvalue ของ $A$
49. เนื่องจาก $A$ invertible จะได้ว่า det($A$)$\neq 0$ ดังนั้น $0$ ไม่เป็น eigenvalue ของ $A$ ตามข้อ 50
ให้ $v$ เป็น eigenvector ของ $A$ เทียบกับ $\lambda$ จะได้ว่า $Av=\lambda v \Rightarrow \frac{1}{\lambda}v=A^{-1}v$ นั่นคือ $\frac{1}{\lambda}$ เป็น eigenvalue ของ $A^{-1}$