สามารถพิสูจน์ได้ครับว่า
ถ้า $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็น onto monotone function แล้ว $f$ จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
ขอใช้ภาษาอังกฤษนะครับ
Suppose WLOG that $f$ is increasing.
Fix $a\in\mathbb{R}$. Let $\epsilon>0$ be given.
Then there are $b,c$ such that
$f(b)=f(a)+\frac{\epsilon}{2}$ and $f(c)=f(a)-\frac{\epsilon}{2}$.
Observe that $b>a>c$.
Let $\delta_1=b-a>0$ and $\delta_2=a-c>0$.
Then $f(a+\delta_1)=f(b)=f(a)+\frac{\epsilon}{2}<f(a)+\epsilon$ and
$f(a-\delta_2)=f(c)=f(a)-\frac{\epsilon}{2}>f(a)-\epsilon$.
Choose $\delta=\min{\{\delta_1,\delta_2\}}$.
If $|x-a|<\delta$ then
$a-\delta<x<a+\delta$,
$a-\delta_2\leq a-\delta < x < a+\delta\leq a+\delta_1$.
Thus $f(a-\delta_2)<f(x)<f(a+\delta_1)$,
$f(a)-\epsilon<f(a-\delta_2)<f(x)<f(a+\delta_1)<f(a)+\epsilon$.
Hence $|f(x)-f(a)|<\epsilon$.
Therefore $f$ is continuous at $a$.
This completes the proof.
