แวะมาเยี่ยมครับ
สำหรับข้อที่เป็น nested square roots ผมคิดว่าไม่มีคำตอบแบบ closed form นะครับ
ส่วน numerical solution ผมหาได้ 10.5130897652419302645...
ที่สำคัญคือเราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่าลำดับ {a
n} นั้นลู่เข้าซึ่งก็ไม่ยากนัก
อย่างแรกให้สังเกตว่า {a
n} เป็น monotonic increasing sequence เพราะ ((10
n - 1)/9)^(1/2
n)
ณ 1 เสมอ
ต่อไปให้สังเกตว่า a
n = a
n-1*((10
n - 1)/9)^(1/2
n) < a
n-1*(10
n - 1)^(1/2
n) < a
n-1*(10
n)^(1/2
n) = a
n-1*10^(n/2
n)
กำหนดให้ b
n = b
n-1*10^(n/2
n) โดยที่ b
1 = 1
โดย induction จะเห็นว่า a
n ฃ b
n สำหรับทุกค่า n
ณ 1
เนื่องจาก {b
n} เป็น monotonic increasing sequence ที่ลู่เข้าสู่ 10^(2/2
2 + 3/2
3 + 4/2
4 + ...) = 10
3/2
ดังนั้น {a
n} จึงเป็น monotonic increasing sequence ที่ถูก bounded above (โดย 10
3/2)
ซึ่งนั่นก็หมายความว่า {a
n} ลู่เข้า