มองอะตอมของไฮโดรเจนทั้งสี่จุดให้เป็นจุดยอดของทรงสี่หน้า (tetrahedron)
ให้ อะตอมของคาร์บอนแทนจุดกำเนิด อะตอมของคาร์บอนจะเป็นจุดกึ่งกลางของทรงสี่หน้าพอดี
สมมติว่า อะตอมของไฮโดรเจนเป็นจุด $v_1,v_2,v_3,v_4$ ใน $\mathbb{R}^3$
จุดเหล่านี้จะมีขนาดเท่ากัน(ระยะทางไปยังอะตอมคาร์บอน)
จะได้ว่าจุดกึ่งกลางของทั้งสี่จุดนี้คือ $\dfrac{v_1+v_2+v_3+v_4}{4}$
แต่เราให้จุดกึ่งกลาง(อะตอมคาร์บอน) เป็นจุดกำเนิด ดังนั้น
$\dfrac{v_1+v_2+v_3+v_4}{4}=0$
$v_1+v_2+v_3+v_4=0$
ต่อไปคำนวณมุมระหว่างอะตอมจากสูตร
$\cos{\theta}=\dfrac{v_1\cdot v_2}{\|v_1\|\|v_2\|}$
$~~~~~~=\dfrac{v_1\cdot (-v_1-v_3-v_4)}{\|v_1\|^2}$
$~~~~~~=\dfrac{-v_1\cdot v_1-v_1\cdot v_3-v_1\cdot v_4}{\|v_1\|^2}$
แต่ มุมระหว่างอะตอมไฮโดรเจนเท่ากันหมด เราจะได้ว่า
$v_i\cdot v_j=\|v_i\|\|v_j\|\cos{\theta}$ ทุก $i\neq j$
ดังนั้น
$\cos{\theta}=\dfrac{-\|v_1\|^2-\|v_1\|^2\cos{\theta}-\|v_1\|^2\cos{\theta}}{\|v_1\|^2}$
$~~~~~~=-1-2\cos{\theta}$
จึงได้
$\cos{\theta}=-\dfrac{1}{3}$
$~~~~\theta=\arccos{\Big(-\dfrac{1}{3}\Big)}$
$~~~~~ \approx 109.47^{\circ}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|