อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
a,b,c are positive reals such that abc=1.
Prove that \frac{a^2+2bc}{a^3+b^2+c^2}+\frac{b^2+2ca}{a^2+b^3+c^2}+\frac{c^2+2ab}{a^2+b^2+c^3} ฃ3
|
จาก Cauchy เราได้ว่า
\[\sum \frac{a^2+2bc}{a^3+b^2+c^2} \leq \sum \frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^2+c^2}=(a^2+b^2+c^2)\sum\frac{1}{a^3+b^2+c^2}\leq (a^2+b^2+c^2)\sum\frac{a+c^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}=\frac{ \sum a +2\sum a^2}{a^2+b^2+c^2}\]
และโดย Power Mean และ Am-Gm เราได้ว่า
\[a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)}{3} = a+b+c\]
ดังนั้น \(\displaystyle{\frac{ \sum a +2\sum a^2}{a^2+b^2+c^2}} \leq \displaystyle{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}}=3\)