[กิตติ]

14. กำหนด $3x+2y=1$ หาค่าต่ำสุดของ $xy$

ถ้าไม่ใช้ $AM-GM$ ก็อาจประยุกต์สมการพาราโบลาได้ครับ
$3x+2y=1 \rightarrow y=\frac{1-3x}{2} $
แทนค่าลงใน $xy$
ให้$z=xy = x\times \frac{1-3x}{2} = \frac{1}{2}(x-3x^2) =-\frac{3}{2}x^2+\frac{x}{2} $
สมการพาราโบลานี้เป็นกราฟคว่ำ มีแต่ค่าสูงสุด หาจุดยอดได้ก็ได้คำตอบ
เดี๋ยวติดไว้ก่อน ไปรับลูกเรียนพิเศษแล้วหัวค่ำจะเข้ามาคิดต่อครับ

$z=xy =-\frac{3}{2}x^2+\frac{x}{2} = -\frac{3}{2}(x-\frac{1}{6} )^2+\frac{1}{24} $
ค่าสูงสุดคือ$\frac{1}{24}$
ลองใช้แคลคูลัสดูก็ได้ว่า$f'(x) = -3x+\frac{1}{2} =0$ ได้ค่าวิกฤตคือ $x=\frac{1}{6}$
$f''(x) = -3$ แสดงว่าค่าที่หาได้เป็นค่าสูงสุด