ขาไป $\Rightarrow$ ใช้ fact ว่า คูณด้วย invertible matrix ไม่เปลี่ยน rank เลยได้ rank(BA)=rank(A)
ดู fact นี้ง่ายๆได้จาก elimination เพราะ elimination ก็คือการคูณด้วย elementary matrix
ซึ่งก็ invertible, มองต่อไปอึกจะสังเกตว่า ทุก invertible matrix เขียนอยู่ในรูปผลคูณของ
elementary matrix ได้ ดังนั้น BA ก็เหมือนทำ row operation กับ A. ไม่ได้เปลี่ยน rank
ขากลับ $\Leftarrow$ rank เท่ากัน แปลว่าจำนวน nonzero pivots ตอนท้ายของ elimination เท่ากัน
ดังนั้น มี elementary matrix E1, E2 ที่ทำให้ $E_1A^2 = E_2A=I_r$ (มี 1 อยู่ r ตัวที่ diagonal ไล่จากซ้ายบน)
และ elementary matrix มัน invertible; $A^2=(E_1)^{-1}E_2A=BA$
__________________
I am _ _ _ _ locked
25 สิงหาคม 2015 17:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B.
|