[PP_nine]

ข้อนี้ ใช้สมบัติพื้นฐานดังนี้ครับ

1. สำหรับจำนวนเต็มบวก $a,b,k$ ใดๆ, $(a,b)=(a+kb,b)=(a,b+ka)$

2. ถ้า $(a,c)=1$ แล้ว $(ab,c)=(b,c)$

ตัวที่สองอาจต้องพิสูจน์นิดหน่อย ซึ่งก็ไม่ได้ยากมากครับ

ดังนั้น

$(5^{2547}-1,5^{2004}-1)=(5^{2547}-5^{2004},5^{2004}-1)$

$=(5^{2004}(5^{543}-1),5^{2004}-1)$

แต่ $(5^{2004},5^{2004}-1)=1$

$=(5^{543}-1,5^{2004}-1)$

$=(5^{543}-1,5^{2004}-5^{543})$

และในทำนองเดียวกัน

$=(5^{543}-1,5^{1461}-1)$

$=(5^{543}-1,5^{918}-1)$

$=(5^{543}-1,5^{375}-1)$

$=(5^{168}-1,5^{375}-1)$

$=(5^{168}-1,5^{207}-1)$

$=(5^{168}-1,5^{39}-1)$

$=(5^{129}-1,5^{39}-1)$

$=(5^{90}-1,5^{39}-1)$

$=(5^{51}-1,5^{39}-1)$

$=(5^{12}-1,5^{39}-1)$

$=(5^{12}-1,5^{27}-1)$

$=(5^{12}-1,5^{15}-1)$

$=(5^{12}-1,5^{3}-1)$

$=5^{3}-1$ #