พีชคณิต(Algebra) แปลตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษ จะหมายถึง วิชาซึ่งว่าด้วยการใช้สัญลักษณ์เพื่อแทนปริมาณต่างๆ
ปัจจุบัน Algebra เป็นวิชาหลักของคณิตศาสตร์ครับ มีวิชาในกลุ่มนี้เยอะแยะเลยทีเดียว
1. Abstract Algebra พีชคณิตนามธรรม เป็นวิชาว่าด้วยการศึกษาการดำเนินการแบบนามธรรม(ต่อยอดการดำเนินการที่เราเคยรู้จักในจำนวนจริง เช่น การบวก การคูณ เป็นต้น)
2. Universal Algebra คล้ายๆพีชคณิตนามธรรม แต่จะศึกษาพวกความสัมพันธ์ประเภทการเปรียบเทียบค่า เช่น คุณสมบัติมากกว่า น้อยกว่า ในจำนวนจริง หรือ การหารลงตัว ในจำนวนเต็ม
3. Linear Algebra พีชคณิตเชิงเส้น เป็นวิชาว่าด้วยการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ตอนนี้เป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตนามธรรมไปเรียบร้อยแล้ว
4. Homological Algebra อันนี้ยังไม่เคยเรียนครับ คร่าวๆคือเป็นแขนงวิชาย่อยที่แตกมาจากพีชคณิตนามธรรม จะเอาไว้ช่วยศึกษาวิชา Algebraic Topology อีกที(ดูวิชาลูกผสมข้างล่าง)
5. Lie Algebra เป็นสาขาย่อยของพีชคณิตนามธรรมที่ใส่คุณสมบัติบางอย่างเพิ่มเติมเข้าไป เอาไปประยุกต์ใช้ใน Quantum Theory ของฟิสิกส์ ต้นกำเนิดมาจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์บางประเภทมั้งครับ
6. Boolean Algebra พีชคณิตแบบบูล คนที่เรียน computer science น่าจะคุ้นเคยกันดี อันนี้ก็เป็นสาขาย่อยของพีชคณิตนามธรรม เอาไปประยุกต์ได้หลายอย่างเหมือนกัน ที่เห็นชัดก็คือการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า
7. K-Theory อันนี้ชื่อไม่มี Algebra แต่ก็เป็นวิชาที่แตกย่อยมาจากพีชคณิตนามธรรม วิชานี้เอาไปอธิบาย String Theory ในฟิสิกส์ทฤษฎี
(Theoretical Physics)
นอกจากนี้ก็มีวิชาลูกผสมอีกหลายวิชา เอามาให้ดูเล่นๆครับ ถ้าอยากรู้จักอย่างลึกซึ้งจริงๆคงต้องเรียนอีกเยอะทีเดียว
1. Algebraic Topology วิชาว่าด้วยการศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของวัตถุในวิชา Topology (ตัวอย่างง่ายๆคือรูปทรงในเรขาคณิต พวกที่มีรูจะน่าสนใจเป็นพิเศษ) วิชานี้ก้าวล้ำจินตนาการไปเยอะทีเดียวครับ
2. Algebraic Number Theory เป็นการศึกษาวิชาทฤษฎีจำนวนโดยใช้พีชคณิต จะว่าไปแล้วก็คือทฤษฎีจำนวนที่ต่อยอดมาจากเซตของจำนวนเต็ม (เปลี่ยนจากเซตของจำนวนเต็มเป็นเซตใดๆที่มีคุณสมบัติใกล้เคียงกับจำนวนเต็ม เช่น Z[i] = เซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งอยู่ในรูป a+bi เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็ม เรียกว่า Gaussian Integers)
3. Algebraic Geometry อันนี้ก็ศึกษาเรขาคณิตโดยใช้พีชคณิตเข้ามาช่วย ยังไม่ทราบรายละเอียดเท่าไหร่(ปีหน้าค่อยเรียน
) แต่เห็นแว้บๆว่ามีพวก Elliptic curve ซึ่ง Andrew Wiles เอาไปใช้พิสูจน์ Fermat's Last Theorem ด้วย
4. Algebraic Varieties อันนี้ศึกษาพีชคณิตโดยใช้อย่างอื่นมาร่วมด้วย เช่น Topology เป็นต้น ต่างกับ Algebraic Topology ตรงที่วิชานี้จะเน้นพีชคณิตมากกว่า ที่ผมเรียนตอนนี้ยังเป็นแค่หัวข้อพิเศษทางพีชคณิตอยู่เลย แต่ก็เห็นมีคนเขียนหนังสือมาให้อ่านแล้วคิดว่าคงจะพัฒนาเป็นวิชาเร็วๆนี้ หรือที่อื่นอาจจะมีการเรียนการสอนเป็นวิชาไปแล้วมั้งครับ
สุดยอดวิชาที่นักคณิตศาสตร์กำลังศึกษาและพัฒนาอยู่ก็คือ Category Theory เป็นวิชาว่าด้วยการจัดหมวดหมู่วัตถุทางคณิตศาสตร์ทุกชนิด คล้ายๆกับอนุกรมวิธาน(Taxonomy) ในชีววิทยาครับ