เฉลยสำหรับผู้ที่สนใจนะครับ
พิจารณาจำนวนนับ $m\leq n$ เราจะนับจำนวนครั้งที่ $m$ ปรากฏในผลคูณนี้
ก่อนอื่น สังเกตว่า
$$d^{\frac{n}{d}}(\frac{n}{d})!=d\cdot(2d)\cdot...\cdot n$$
เราจะแยกกรณีดังนี้
1.) $gcd(m,n)=1$
เราจะได้ว่า $m$ ปรากฏใน $1^{\frac{n}{1}}(\frac{n}{1})!=n!$ เพียงครั้งเดียวเท่านั้น
2.) $gcd(m,n)\neq1$
เราให้ $gcd(m,n)=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_l^{a_l}$
ดังนั้นแล้ว $m$ จะปรากฏในผลคูณทั้งหมด $2^l$ ครั้ง
เนื่องจาก $\mu(r)=1$ เมื่อ $r$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันจำนวนคู่ตัว
ดังนั้นแล้ว $m$ จะปรากฏเป็น $m^1$ ทั้งหมด $\binom{l}{0} +\binom{l}{2}+...$ ครั้ง
และในทำนองเดียวกัน $\mu(r)=-1$ เมื่อ $r$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันจำนวนคี่ตัว
ดังนั้นแล้ว $m$ จะปรากฏเป็น $m^{-1}$ ทั้งหมด $\binom{l}{1} +\binom{l}{3}+...$ ครั้ง
แต่เนื่องจาก $\binom{l}{0} +\binom{l}{2}+...=\binom{l}{1} +\binom{l}{3}+...$
ดังนั้นแล้ว ในที่สุดจะไม่ปรากฎ $m$ ในผลลัพธ์
ดังนั้นแล้ว เราจึงสรุปได้ว่า
$$\prod_{d|n}[d^{\frac{n}{d}}(\frac{n}{d})!]^{\mu(d)}$$
จะมีค่าเท่ากับผลคูณของจำนวนนับที่น้อยกว่า $n$ และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $n$
