[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อนี้ใช้อสมการโคชี่ น่าจะง่ายสุด
แต่เพื่อความหลากหลายผมให้อีกวิธี คือใช้ตรีโกณมิติ โดยการจัดให้เป็นรูปแบบนี้ครับ
$\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$
ต่อจากนั้นก็มองให้ออกนะครับว่ามันอยู่รูปของ $\sin(\theta +\omega )$ ถึงตรงนี้ก็ไม่ยากแล้วครับ
โจทย์ข้อนี้ถ้าจำไม่ผิดเป็นโจทย์โอลิมปิกของสสวท. รอบแรก ปีที่แล้ว

มันมาจากการหาค่าสูงสุดต่ำสุดของ $a\sin \theta+b\cos \theta$

จาก $5x+12y=60$
จากเรื่องตรีโกณ $x=\cos \theta,y=\sin \theta$
$5\cos \theta+12\sin \theta=60$
เอา $\sqrt{5^2+12^2} =13$ หารตลอด
$(\frac{5}{13} )x+(\frac{12}{13} )y=(\frac{60}{13} )$
เอา $\sqrt{x^2+y^2} $ หารตลอดอีก
$\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$
มอง $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }=\sin \theta,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }=\cos \theta$
$\frac{5}{13}=\cos \omega,\frac{12}{13}=\sin \omega$

$\sin (\theta+\omega) =\frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$
$\sqrt{x^2+y^2} =\frac{60}{13}*\frac{1}{\sin (\theta+\omega) }$
ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ จะเกิดเมื่อค่า $\sin (\theta+\omega)$ มีค่าสูงสุด ซึ่งเท่ากับ $1$
ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ จึงเท่ากับ $\frac{60}{13}$