[passer-by]

คุณ mastermander หมายถึงอย่างนี้หรือเปล่าครับ

จาก $ \cos(z)= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} $

ดังนั้น $ \cos(x-y)+\cos(y-z)+\cos(z-x)=\frac{1}{2}\bigg( \frac{e^{2ix}+e^{2iy}}{e^{ix}e^{iy}}+ \frac{e^{2iy}+e^{2iz}}{e^{iy}e^{iz}}+ \frac{e^{2iz}+e^{2ix}}{e^{iz}e^{iz}} \bigg ) \cdots(1)$

แต่จากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด $$ e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0 \rightarrow (e^{ix}+e^{iy})^2=e^{2iz}\rightarrow e^{2ix}+e^{2iy}=e^{2iz}-2e^{i(x+y)} $$
แทนค่ากลับไปใน (1) จะได้
$ \begin{array}{rcl}\cos(x-y)+\cos(y-z)+\cos(z-x)&=&\frac{1}{2}\bigg( \frac{e^{2iz}}{e^{ix}e^{iy}}+ \frac{e^{2ix}}{e^{iy}e^{iz}}+ \frac{e^{2iy}}{e^{iz}e^{iz}} - 6\bigg )\\&=&\frac{1}{2}\bigg( \frac{e^{3iz}+e^{3ix}+e^{3iy}}{e^{ix}e^{iy}e^{iz}}- 6\bigg)\\ &=&\frac{1}{2}(3-6)=-\frac{3}{2}\end{array} $

ตรงบรรทัดสุดท้ายมาจาก $ a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc $