สวัสดีครับทุกคน อยากให้กระทู้นี้เป็นกระทู้สำหรับอภิปรายข้อสอบ TMO 13 กันนะครับ
1.กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยที่ $AB\neq AC$
ถ้าเส้นแบ่งครึ่งมุม $BAC$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $P$ แบะตัดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากด้าน $BC$ ที่จุด $Q$
จงแสดงว่า $\frac{PQ}{AQ}=(\frac{BC}{AC+AB})^2$
2.ให้ $M$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $A=\left\{1,2,...,M+1\right\} $
ถ้า $f:A\rightarrow A$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จงแสดงว่า
$$\sum_{n = 1}^{M} \frac{1}{f(n)+f(n+1)} >\frac{M}{M+3}$$
3.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง
$$f(f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x))=f(x)+f(y)+f(z)$$
สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y,z$
4.ถ้าจุดแต่ละจุดบนระนาบมีสีแดง น้ำเงิน หรือสีเขียว
จงแสดงว่า มีจุดสามจุดซึ่งมีสีเดียวกันและเป้นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
5.ให้ $p_1,p_2,...$ เป็นลำดับของจำนวนนับโดย $p_1=2$
และสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ $p_{n+1}$ เป็นจำนวนเฉพาะค่าน้อยสุดที่หาร
$$np_1^{1!}p_2^{2!}...p_n^{n!}+1$$
ลงตัว จงแสดงว่าจำนวนเฉพาะทุกจำนวนปรากฏในลำดับ $p_1,p_2,...$
6.ถ้า $m$ และ $n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $m^{4^n+1}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
จงแสดงว่า มีจำนวนเต็ม $t\geq 0$ ซึ่ง $n=2^t$
7.ให้ $P(x)=a_{2016}x^{2016}+a_{2015}x^{2015}+...+a_1x+a_0$ เป็นพหุนามดีกรี $2016$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและสอดคล้อง
$$|a_1+a_3+...+a_{2015}|>|a_0+a_2+...+a_{2016}|$$
จงแสดงว่า $P(x)$ มีรากเป้นจำนวนจริงที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า $1$ อยู่เป็นจำนวนคี่ตัว (นับรากตามจำนวนการซ้ำ)
8.กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่งมี $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน
เส้นตรงซึ่งผ่านจุด $I$ และขนานกับด้าน $AB$ ตัดด้าน $AC$ ที่จุด $M$
เส้นตรงซึ่งผ่านจุด $I$ และขนานกับด้าน $AC$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $N$
และเส้นตรง $MN$ ตัดวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่จุด $X,Y$
ถ้า $Z$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง $BC$ (ที่ไม่มีจุด $A$) ของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ แล้ว
จงแสดงว่า $I$ เป็นจุด Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$
9.ให้จำนวนจริง $a\neq 0$ จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง
$$f(x)f(y)+f(x+y)=axy$$
สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$
10."เหรียญปัตตาโน" คือเหรียญซึ่งหน้าหนึ่งมีสีฟ้าและอีกหน้าหนึ่งมีสีเหลือง โดยแต่ละหน้ามีจำนวนนับค่าไม่เกิน $100$ กำกับไว้หน้าละหนึ่งจำนวน
เหรียญปัตตาโนสองเหรียญ "เหมือนกัน" ก็ต่อเมื่อ จำนวนบนหน้าสีฟ้าของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน และ จำนวนบนหน้าสีเหลืองของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน
เหรียญปัตตาโนสองเหรียญ "ประกบกันได้" ก็ต่อเมื่อ จำนวนบนหน้าสีฟ้าของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน หรือ จำนวนบนหน้าสีเหลืองของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน
ถ้ามีเหรียญปัตตาโน $2559$ เหรียญ โดยไม่มีสองเหรียญใดเหมือนกัน แล้วจงแสดงว่า
มีเหรียญปัตตาโนอย่างน้องหนึ่งเหรียญซึ่งประกบกันได้กับเหรียญอื่นๆ อีกอย่างน้อย $50$ เหรียญ