อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper
ทำไมล่ะครับ y เป็น 0 ได้ เมื่อ $x=-\frac{b}{a}$ นี่ครับ
|
นิยามของเส้นกำกับแนวนอนแตกต่างจากเส้นกำกับแนวตั้งครับ
เส้นตรง $y=b$ เป็นเส้นกำกับแนวนอน (Horizontal Asymptote) ของฟังก์ชัน $f$ ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}f(x)=b$ หรือ $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}}f(x)=b$
กล่าวโดยรวมก็คือมันเป็นเส้นตรงที่ใช้บอกพฤติกรรมของฟังก์ชันเมื่อ $x$ มีค่าเยอะๆ หรือ ติดลบเยอะๆก็ได้
จึงไม่แปลกอะไรที่กราำฟของฟังก์ชันจะไปตัดกับเส้นกำกับแนวนอนในบางจุด
สำหรับฟังก์ชันเศษส่วนพหุนามจะมีเกณฑ์ในการพิจารณาเส้นกำกับดังนี้
สมมติฟังก์ชันอยู่ในรูป $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$
เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical Asymptote)
หาจากการตั้งสมการ $Q(x)=0$ แล้วแก้สมการหาค่า $x$
เส้นกำกับแนวนอน (Horizontal Asymptote)
มีหลายกรณี
กรณีที่ 1 deg $P(x)<$ deg $Q(x)$
$\bullet$ เส้นตรง $y=0$
กรณีที่ 2 deg $P(x)=$ deg $Q(x)$
$\bullet$ เส้นตรง $y=\frac{a}{b}$
เมื่อ $a$ คือ leading coefficient ของ $P(x)$
$b$ คือ leading coefficient ของ $Q(x)$
กรณีที่ 3 deg $P(x)>$ deg $Q(x)$
$\bullet$ ไม่มี
เส้นกำกับแนวเฉียง (Slant Asymptote or Oblique Asymptote)
เป็นเส้นกำกับที่เกิดขึ้นเมื่อ deg $P(x)-$ deg $Q(x)=1$
วิธีหาคือจับ $P(x)$ มาหารด้วย $Q(x)$ โดยวิธีหารยาว ได้ผลลัพธ์ออกมาสมมติเป็น $ax+b$
จะได้ทันทีว่า $y=ax+b$ เป็นเส้นกำกับแนวเฉียง
ตัวอย่าง 1 $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$
Vertical Asymptotes : $x=1,x=-1$
Horizontal Asymptote : $y=0$
ตัวอย่าง 2 $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$
Vertical Asymptotes : ไม่มี
Horizontal Asymptote : $y=1$
ตัวอย่าง 3 $f(x)=\dfrac{x^3+x^2}{x^2-4}=x+1+\dfrac{4x+4}{x^2-4}$
Vertical Asymptotes : $x=2,x=-2$
Horizontal Asymptote : ไม่มี
Slant Asymptote : $y=x+1$