ข้อสอบวันแรก
1. ให้ $ABCDE$ เป็นรูปห้าเหลี่ยมนูน ซึ่ง $\angle AEB = \angle BDC = 90^\circ $ และ $\overline{AC} $ แบ่งครึ่งมุมทั้ง $\angle BAE$ และ $\angle DCB$ ให้วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABE$ ตัดเส้นตรง $AC$ อีกครั้งที่จุด $P$
(ก) จงแสดงว่า $P$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $BDE$
(ข) จงแสดงว่า จุด $A,C,D,E$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน
หมายเหตุ รูปห้าเหลี่ยมนูน คือ รูปห้าเหลี่ยมที่มุมภายในแต่ละมุมมีขนาดน้อยกว่า $180^\circ$
2. ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน
ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แล้ว จงแสดงว่า $\frac{2a(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
3. จงหาฟังก์ชัน $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ ทั้งหมดซึ่ง $f(x+yf(x)+y^2)=f(x)+2y$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R^+}$
4. กระต่ายตัวหนึ่งเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง $0$ และกระโดดไปมาบนเส้นจำนวนจริง
ในการกระโดดแต่ละครั้ง กระต่ายจะกระโดดไปยังตำแหน่งที่เป็นจำนวนเต็มตำแหน่งใดก็ได้ แต่ต้องไม่กระโดดอยู่กับที่
ให้ $N(a)$ แทนจำนวนวิธีที่กระต่ายจะกระโดดให้ได้ระยะทางรวมทั้งหมด $2019$ หน่วย แล้วสิ้นสุดที่ตำแหน่ง $a$
จงหาจำนวนเต็ม $a$ ทั้งหมด ซึ่ง $N(a)$ เป็นจำนวนคี่
5. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า $$\frac{4a-1}{(2b+1)^2}+\frac{4b-1}{(2c+1)^2}+\frac{4c-1}{(2a+1)^2} \ge 1$$
ข้อสอบวันที่ 2
6. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $xf(y)+yf(x) \le xy$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R}$
7. ให้ $A=\{-2562,-2561,...,2561,2562\}$
จงแสดงว่า สำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง $f:A \rightarrow A$
$\sum_{k=1}^{2562}\left|\, f(k)-f(-k)\right|$ มีค่ามากสุด ก็ต่อเมื่อ $f(k)f(-k)<0$ สำหรับทุก $k=1,2,...,2562$
8. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AB \not= AC$ และมี $\omega$ เป็นวงกลมล้อมรอบ
ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งสัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $D$
ให้วงกลมซึ่งมี $\overline{AI}$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่จุด $K$
ถ้าเส้นตรง $AI$ ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่จุด $M$ จงแสดงว่า $K,D,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
9. รูปไชยศรี คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดทั้งสามเป็นจุดยอดของรูป 2019 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปใดรูปหนึ่ง โดย
รูปไชยศรี ที่ต่างกัน อาจเกิดจากรูป 2019 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าขนาดต่างกัน
รูปทับแก้ว คือ รูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งสามารถตัดแบ่งทั้งรูป ออกเป็น
รูปไชยศรี หลาย ๆ รูป โดยที่จุดยอดของ
รูปไชยศรี ไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้
จงหาว่า
รูปทับแก้ว มีจำนวนเหลี่ยมได้มากสุดเท่าใด
หมายเหตุ รูปหลายเหลี่ยมนูน คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มุมภายในแต่ละมุมมีขนาดน้อยกว่า $180^\circ$
10. จงแสดงว่ามีจำนวนคี่บวก $n$ อยู่อนันต์จำนวนที่ทำให้ $n!+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ