จากโจทย์ $ p^3+q^3+1=p^2q^2$ โดย p และ q เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่
ให้พิจารณาดูว่า
1.ถ้า p และ q เป็นคี่ทั้งคู่ ทั้ง2ข้างของสมการเป็นคี่ได้
แต่ไม่มีจำนวนเฉพาะคี่ใดทำให้สมการเป็นจริง
2.ถ้า p และ q เป็นคู่ทั้งตัว จะได้ซ้ายเป็นคี่ ขวาเป็นคู่ จึงไม่ได้
ดังนั้น p หรือ q ตัวหนึ่งต้องเป็นคู่ ตัวหนึ่งเป็นคี่
สมมติให้ p เป็นคู่ ซึ่งมีจำนวนเฉพาะที่เป็นคู่เพียงตัวเดียวคือ2
แทนค่า $p=2$ ในสมการจะได้ $9+q^3=4q^2$
$ q^3-4q^2+9=0$
$(q^2-q-3)(q-3)=0$
$\therefore q=3$
ดังนั้น $p+q=5 $ เป็นคำตอบ
|