แล้วผมคิดข้อ 3. ใหม่เลยแยกตัวประกอบได้ดังนี้ครับ
$(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x)$ = $(x^3-1)\cdot (x^{240}+x^{237}+x^{234}+...+x^{84}+x^{81}+2x^{78}+2x^{75}$
$+2x^{72}+...+2x^{30}+2x^{27}+3x^{24}+3x^{21}+3x^{18}+3x^{15}+3x^{12}+3x^9+4x^6+4x^3+5)+$ (x+5)
และอยากขยายแนวคิดของคุณหยินหยางเพิ่มเติมอีกนะครับ
จาก $a^3-1 = (a-1)\cdot (a^2+a+1)$ เราจะได้ว่า
$x^9-1 = (x^3)^3-1 = (x^3-1)\cdot ((x^3)^2+(x^3)+1) = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1) $
$x^{27}-1 = (x^9)^3-1 = (x^9-1)\cdot ((x^9)^2+(x^9)+1) = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1)\cdot (x^{18}+x^9+1) $
$x^{81}-1 = (x^{27})^3-1 = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1)\cdot (x^{18}+x^9+1)\cdot (x^{54}+x^{27}+1)$
$x^{243}-1 = (x^{81})^3-1 = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1)\cdot (x^{18}+x^9+1)\cdot (x^{54}+x^{27}+1)\cdot (x^{162}+x^{81}+1)$
ทุกชุดมี $(x^3-1)$ เป็นตัวประกอบร่วม ดังนั้นจะได้ว่า
$(x + x^3+ x^9+ x^{27}+ x^{81}+ x^{243})$ = (x+5)+$(x^3-1)\cdot \sum_{n = 0}^{80} a_n.x^{3n}$
และเศษที่เหลือจากการหารด้วย $(x^3-1)$ ก็คือ x+5 ครับ
|