ดูหนึ่งข้อความ
  #5  
Old 16 กรกฎาคม 2012, 17:28
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อีกวิธีครับ
ให้ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม
$r$ แทนรัศมี และ $A$ แทนพื้นที่

สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า $A=rs$

พิจารณา Heron's formula
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ตรงนี้คือต้องการหาว่าในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีพื้นที่มากสุด
นั่นคือพิ้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆจะมากสุดเมื่อ $a=b=c=\frac{a+b+c}{3}=\frac{2s}{3}$
นั่นคือต้องการพิสูจน์ว่า
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \le \sqrt{s(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})} = \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยอสมการ A.M.-G.M
$(s-a)(s-b)(s-c) \le (\dfrac{3s-a-b-c}{3})^3 = \dfrac{1}{27}s^3$
$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$

แทนค่าใน $A=rs$

$2s \le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$
$s \le 0$ หรือ $s \ge 2\sqrt{3}$

แต่ $s > 0$ นั่นคือ
$a+b+c = 2s \ge 4\sqrt{3}$

และจากที่คุณ banker พบว่าสามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูป $4\sqrt{3}$
เส้นรอบรูปที่น้อยที่สุดจึงเป็น $4\sqrt{3}$ ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

16 กรกฎาคม 2012 17:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
เหตุผล: เพิ่มคำอธิบาย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้