[rendv]

1.

ต่อ $AD$ ถึง $E$ ให้ $ED=AD$ จะได้ $ACEB$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทำให้ $AE < AB + BE$
ซึ่งคือ $2AD < AB + AC$ ทำเช่นเดียวกันกับเส้นมัธยฐานอื่น แล้วนำอสมการมาบวกกัน จะได้ $2(AD+BE+CF)<2(AB+BC+CA)$ นั่นคือ $AD+BE+CF<AB+BC+CA$

2.

ให้ $X = AC\cap BD$ จาก $\triangle ABX \sim \triangle EFX$ จะได้ $AB=EF\cdot \frac{XB}{XF}$ และจาก $\triangle CDX \sim \triangle EFX$ จะได้ $CD=EF\cdot \frac{XD}{XF}$ เพราะฉะนั้น $AB-CD=(XB-XD)\cdot \frac{EF}{XF}=(\frac{1}{2}BD+XF-\frac{1}{2}BD+XF)\cdot\frac{EF}{XF}=2EF$

3.

เนื่องจาก $\angle RBS=\angle RBX +\angle SBX=\angle QPX + \angle PQX=180^\circ - \angle PXQ$ จะได้ $RBSX$ มีวงกลมล้อมรอบ ดังนั้น $\angle BXR = \angle BSR$