[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Marskoto

อ๋อครับ ขอบคุณมากนะครับ
ต่ออันที่ผิดนะครับ
=$\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i+1}$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)}-\frac{n}{\frac{n}{2}(n+1)+n } \right)$
=$\frac{1}{2}\left(\,\frac{1}{\frac{n+1}{2}}-\frac{1}{\frac{3n+1}{2} } \right)$
=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{3n+1}$
=$\frac{2n}{(n+1)(3n+1)}$
=$\frac{2n}{3n^{2}+4n+1}$

ส่วนข้อ 2 ทำตามคุณหยินหยางใบ้ให้ครับ
$S_n = \sum_{i = 1}^{n}i^{2}$
$=\frac{n}{6}(2n+1)(n+1)$
$=\frac{n}{6}(2n^{2}+3n+1)$
$=\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6}$

ใช้หรือปล่าวครับ แต่ได้คำตอบเหมือนที่ผมเคยคิดไว้อ่ะครับ

ผิดเหมือนเดิมครับ แต่ไม่เป็นไรครับ ผมไม่ได้อธิบายละเอียดก็เพราะว่าอยากให้ทำได้โดยการ hint ก่อน งั้นผมขอเริ่มอธิบายแบบกระดาษทรายเบอร์ 0 ก็แล้วกัน
ข้อ1 . ผิดตั้งแต่แรกเลยครับ ขอเริ่มว่าจากโจทย์เราจะพบว่าพจน์ที่ $a_n=\frac{1}{\frac{i(i+1)}{2} } = {\frac{2}{i(i+1)} }$ จากตรงนี้เราจะสังเกตได้ว่าพจน์ที่ว่าสามารถแยกได้เป็น $2( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} )$
ต่อจากนี้เราก็จะใช้หลักการของ telescoping คือการเขียนผลบวกที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบที่ขยายแล้วพจน์ตัดกันจนเหลือไม่กี่พจน์ ลองดูตัวอย่างนี้
$a_1 = 2( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} )$ เมื่อ $i =1$
$a_2 = 2( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )$ เมื่อ $i =2$
$a_3 = 2( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} )$ เมื่อ $i =3$
...
$a_n = 2( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$ เมื่อ $i =n$
โจทย์ถาม $S_n$ ก็คือเอา $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ ซึ่งเห็นว่าพจน์จะมีการตัดกันเหลือเพียง $2( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} ) = \frac{2n}{n+1}$
บรรทัดข้างล่างเขียนให้ดูชัดๆอีกที
$2[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2})+ ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )+...+( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )]$ วิธีการนี้แหละเรียกว่าใช้หลักการของ telescoping
ส่วนข้อ 2 ผมว่าผมอธิบายละเอียดแล้วนะ ลองกลับไปดูอีกครั้ง ต้องเข้าใจซะก่อนว่าโจทย์เค้าอุตส่าห์เขียนไว้เพื่อให้คนทำสังเกตได้ง่าย ถ้าเปลี่ยนใหม่ให้ยากขึ้นโจทย์จะกำหนดอย่างนี้ครับ
ลำดับชุดหนึ่งเป็นดังนี้ คือ $1,9,35,91,... .$ ให้หา $S_n$
คนทำต้องสังเกตเองครับว่า
$a_1 = 1$
$a_2 = 2+3+4 =9$
$a_3 = 5+6+7+8+9 =35$
....
$a_n = ......$
หลังจากนี้ไปดูข้อความของผมต่อนะครับ และถ้าเข้าใจการหาผลบวกของลำดับเลขคณิต จาก 1 ถึง n ละก็ไม่น่ามีปัญหาครับเพราะเปลี่ยนจากถึง $n$ มาเป็น $n^2$