[nooonuii]

ฟังก์ชันที่เอามาให้ดูเป็น simple ฟังก์ชันน่ะครับ มันเลยหาค่าอินทิกรัลได้ทันที แต่ถ้าฟังก์ชันมันซับซ้อนขึ้นก็คงต้องทำตามนิยามของ Lebesgue integral ครับ ซึ่งค่อนข้างจะยุ่งยากในการคำนวณ

ส่วนโจทย์สองข้อหลัง ข้อแรกถูกแล้วครับ ส่วนข้อสอง

$\displaystyle{\int_{[0,1]}f(x) \ dx = \int_{Q\cap [0,1]} \cos{x} \ dx + \int_{[0,1]\setminus Q} \sin{x} \ dx}$
$\displaystyle{= 0 + \int_{[0,1]\setminus Q} \sin{x} \ dx}$
$\displaystyle{= \int_{Q\cap [0,1]} \sin{x} \ dx + \int_{[0,1]\setminus Q} \sin{x} \ dx}$
$\displaystyle{= \int_{0}^{1} \sin{x} \ dx}$

เพราะว่า $Q$ มี Lebesgue measure 0 ครับ

โจทย์ที่พี่มีส่วนใหญ่จะเป็นโจทย์พิสูจน์มากกว่าน่ะครับ ลองเอาข้อนี้ไปทำดู

กำหนดให้ $f(x) = x$ ถ้า $x$ อยู่ในรูป $\frac{1}{n}$ หรือ $\frac{n+1}{n}$ และ $f(x) = x^2$ สำหรับกรณีอื่น จงหาค่าของ $\displaystyle{ \int_{[0,2]} f(x)} dx$