Q.E.D. เป็นตัวย่อของภาษาละติน ย่อมาจากคำว่า "
Quod
Erat
Demonstrandum" แปลว่า "that which was to be demonstrated" หรือที่ใช้ในภาษาไทยคือ ซ.ต.พ. (ซึ่งต้องพิสูจน์) เป็นคำลงท้ายที่ต้องเขียนหลังจาก ได้พิสูจน์ทฤษฎีบททางเรขาคณิตเสร็จสิ้น ใช้กันมานมนานตั้งแต่สมัยอาร์คีมิดิสนู่น
Q.E.D. ที่ผมจะกล่าวถึงนี้ เป็นชื่อของการ์ตูนญี่ปุ่นเรื่องหนึ่ง เนื้อเรื่องเกี่ยวกับการสืบสวนสอบสวน โดยพระเอกเป็นเด็กหนุ่มอัจฉริยะอายุเพียง 15 ปีที่กำลังศึกษาอยู่ที่ MIT แต่มีเหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นทำให้ เขาต้องลาออกและกลับมาเรียนต่อที่ญี่ปุ่น ... ผมมั่วให้ได้แค่นี้ละ ฮ่าๆ เคยอ่านผ่านๆอย่างรวดเร็วเพียงแค่เล่มแรกๆ เมื่อสี่ห้าปีที่แล้ว ใครที่เคยอ่านและจำได้ เข้ามาเขียนเพิ่มเติมได้ครับ
ที่ผมรู้จักการ์ตูนเรื่องนี้ก็เพราะกรเขาบอกมาครับ กรถามผมเกี่ยวกับปัญหาข้ามสะพานโคนิกส์เบริก (Konigsberg Bridge Problem) และบอกถึงการ์ตูนเรื่องหนึ่งที่กล่าวถึงปัญหานี้ไว้ว่า ปัญหานี้แม้จะแก้ไม่ได้ทางทฤษฎี แต่ในทางปฏิบัติแล้วมีความเป็นไปได้ที่จะแก้ได้ !!! ผมก็งงสิครับ ว่ามันจะมีวิธีแก้ในทางปฏิบัติด้วยรึ
ก่อนจะกล่าวถึงวิธีแก้ปัญหาทางปฎิบัติก็ขอ กล่าวถึงปัญหาข้ามสะพานโคนิกส์เบริก สำหรับน้องๆที่ยังไม่เคยได้ยินก่อนนะครับ
ในปี ค.ศ.1736 ณ เมืองโคนิกส์เบริก(Konigsberg) เมืองหลวงของปรัสเซียตะวันออก (ปัจจุบันคือเมือง Kaliningrad ของรัสเซีย) ที่เมืองนี้มีแม่น้ำ Pregel และแม่น้ำอีกสายหนึ่งไหลผ่าน นอกจากนี้ยังมีเกาะเล็กๆชื่อ Kniephof อยู่ตรงกลางบริเวณจุดที่แม่น้ำทั้งสองสายไหลมาบรรจบกัน โดยมีสะพาน 7 แห่งเชื่อมต่อระหว่างเกาะเล็กๆนี้กับริมฝั่งแม่น้ำ
ในยามเช้า ชาวเมืองต่างพากันวิ่งออกกำลังกายรอบเกาะ ช่วงแรกๆก็คงจะสนุกหรอกครับ แต่พอนานวันเข้าก็มีชาวเมืองบางคน อยากจะวิ่งรอบเกาะ โดยข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งๆละ 1 เที่ยวเท่านั้น พวกเขาพยายามหาเส้นทางวิ่งใหม่ๆอยู่เสมอ แต่ก็ไม่มีใครพบเส้นทางนั้น ปัญหานี้เป็นที่ถกเถียงกันมากจนกระทั่ง เรื่องนี้ได้ยินไปถึงหูของ Leonhard Euler ซึ่งขณะนั้นเป็นศาสตราจารย์ทางคณิตศาสตร์ที่เมืองเซนต์ปีเตอร์เบริก
ออยเลอร์ได้ตีพิมพ์คำตอบของปัญหาดังกล่าวว่าเป็นไปไม่ได้ ออยเลอร์แก้ปัญหานี้โดย การแทนแผนที่ของเมือง ด้วยแผนผังดังรูป ข) จุด A และ C แทนสองฝั่งแม่น้ำ ส่วนจุด B และ D แทนเกาะสองเกาะดังกล่าว โดยมีเส้นแทนสะพานทั้งเจ็ดเชื่อมโยงระหว่างจุดทั้งหลาย เขาให้เหตุผลว่า ถ้าหากเส้นวิถีที่ต้องการมีอยู่จริง ผู้เดินทางจะต้องเดินเข้าและออกจุดต่างๆเป็นจำนวนคู่ครั้ง ตัวอย่างเช่นเมื่อเดินเข้าจุด B ก็ย่อมต้องเดินออกจากจุด B เช่นกัน ซึ่งหมายความว่า จำนวนครั้งที่เดินเข้าและออกจากจุดใดๆจะต้องเป็นเลขคู่ เนื่องจากผู้เดินทางจะต้องเดินทางผ่านจุดต่างๆ โดยใข้เส้นทางที่ไม่ซ้ำกัน อีกทั้งจะต้องผ่านทุกๆเส้นที่ปรากฏในแผนผัง ย่อมหมายความว่า จะต้องมีจำนวนเส้นที่ต่อกับแต่ละจุดในแผนผังเป็นจำนวนคู่ ซึ่งไม่ใช่สำหรับแผนผังในรูป ข) (จำนวนเส้นที่ต่อกับจุด A, B, C และ D คือ 3, 5, 3 และ 3 ตามลำดับ) จึงสรุปว่าไม่มีเส้นวิถีที่ต้องการ แนวคิดแก้ปัญหานี้เองเป็นจุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ที่เรียกว่าทฤษฎีกราฟ (Graph Theory)
หมายเหตุ: วิธีแก้ปัญหาสะพานนำมาจากหนังสือ "ภินทนคณิตศาสตร์" ของ ดร. สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล
จบในส่วนของทฤษฎีแล้วครับว่าเป็นไปไม่ได้ แล้วในทางปฏิบัติละ พระเอกในการ์ตูนเขาบอกไว้ยังงี้ครับ (ผมจะเริ่มมั่วแล้วนะครับ ฮ่าๆ) เรายึดติดกับการมองและแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีกราฟมากเกินไป หากเรามองที่แม่น้ำดีๆ สิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับแม่น้ำคือ แม่น้ำทุกสายต้องมีต้นน้ำครับ ดังนั้นหากเราเดินย้อนแม่น้ำขึ้นไปหาต้นน้ำของมัน เราก็สามารถข้ามไปอีกฝั่งได้โดยไม่ต้องข้ามสะพานเลย แต่เนื่องจากต้นน้ำของแม่น้ำจะอยู่บนเทือกเขาสูง ที่อยู่ห่างไกลออกไปมาก การเดินข้ามแม่น้ำด้วยวิธีนี้จึงลำบากสุดๆ
ในตอนนั้นผมก็ทำได้เพียงรับฟังมาคิดเท่านั้น แต่ในเมื่อตอนนี้เทคโนโลยีมันพร้อม เราจะมาดูกันว่า มันเป็นไปได้ในทางปฏิบัติจริงหรือไม่ !!!
เริ่มต้นจากเมืองโคนิกส์เบริก หรือเมือง Kaliningrad ในปัจจุบัน
จะเห็นว่าสะพานบางแห่งหายไปแล้ว แต่ไม่เป็นไร เราจินตนาการเอาเองว่าสะพานมันอยู่ครบทุกแห่งนะครับ เราจะเริ่มมองออกมาไกลๆ
โอ๊ะๆ มองเห็นอะไรสีฟ้าด้านบน และด้านซ้ายของเมือง Kaliningrad ไหมครับ มันคือทะเลนั่นเอง ผมจะลากเส้นสีแดงในส่วนของแม่น้ำย้อนขึ้นไปหาต้นน้ำให้ดูนะครับ
ตรงมุมขวาล่างที่เห็นเส้นสีแดงแตกออกมา นั่นคือแม่น้ำที่ยังไล่ขึ้นไปยังต้นน้ำได้อีกนะครับ
นั่นก็แสดงให้เห็นว่า เราไม่สามารถเดินข้ามแม่น้ำสายนี้ ด้วยวิธีเดินย้อนไปยังต้นน้ำได้
ดังนั้นการแก้ปัญหานี้ในทางปฏิบัติ ก็ทำไม่ได้เช่นกัน
Q.E.D.