ดูหนึ่งข้อความ
  #3  
Old 07 มีนาคม 2012, 08:46
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ค่าย 2 2549 อสมการ
อ้างอิง:
ข้อ 3.$x_i>0$ and $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=n$
find min $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}$$
we know $x_1x_2...x_n\ge 1$ from condition
Use Weight AM.-GM. $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}\ge \Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\Big)\sqrt[1+1/2+1/3+...+1/n]{x_1x_2...x_n}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$
อ้างอิง:
ข้อ 4. ให้ $a,b,c>0$ จงเเสดงว่า $$\frac{4ab}{a+b+2c}+\frac{4bc}{b+c+2a}+\frac{4ca}{c+a+2b}\le a+b+c$$
โดย Homogeneous assume $abc=1$ เเละ $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\frac{1}{a(3+a)}+\frac{1}{b(3+b)}+\frac{1}{c(3+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$
ให้ $f(x)=4/x(3+x)$ เป็นฟังก์ชัน(concaveด้วย) ดังนั้น $$\sum_{cyc} f(x)=\sum_{cyc} \frac{1}{a(3+a)}\le 3f\Big(\frac{x+y+z}{3}\Big)=\frac{27}{a+b+c+(9+a+b+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$
อ้างอิง:
6.$a,b,c,x,y,z>0$ Prove $$\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\ge \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$$
Holder $$\Big(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\Big)(x+y+z)(1+1+1)\ge (a+b+c)^3$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

07 มีนาคม 2012 09:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้