มาเฉลยข้อ 88 ให้ครับ โจทย์ตอนแรกดูน่ากลัว แต่ทำไปทำมาออกซะงั้น
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-
88. จงพิสูจน์ว่า ในทุกๆจำนวนนับ $n>1$
$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}} < 3$$
|
ขอแก้โจทย์เพิ่มเป็น $n>1$ นะครับ จะได้ครบถ้วน
สังเกตว่า $\sqrt{2} < 3$ ดังนั้น มี $n\in\mathbb{N}-\{ 1 \}$ ซึ่งทำให้โจทย์เป็นจริง
โดย contradiction สมมติว่ามี $n>2$ ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนอสมการ
กล่าวคือ $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n-1}}}} <3$ แต่ $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}} \ge 3$
คูณสองอสมการเข้าด้วยกัน เป็น $$3\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n-1}}}} < 3\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}$$
$$(n-1)^{1/2^{n-2}} < n^{1/2^{n-1}}$$
$$(n-1)^2 < n$$
ซึ่งอสมการดังกล่าว มีจำนวนเต็มที่สอดคล้องเพียง $1,2$ เท่านั้น
แสดงว่าไม่มี $n>2$ ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนอสมการ
หรือก็คือ $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}<3$ เสมอ ตามต้องการ
