[กขฃคฅฆง]

1. $1-\dfrac{1}{2^2} +...-\dfrac{1}{(p-1)^2}$

$ = 1+\dfrac{1}{2^2} +...+\dfrac{1}{(p-1)^2} -2(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{(p-1)^2}) $

$= 1+\dfrac{1}{2^2} +...+\dfrac{1}{(p-1)^2} - \dfrac{1}{2} (1+ \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{({\frac{p-1}{2}}) ^2})$

จาก $r^2 \equiv (p-r)^2 \pmod{p} $ จะได้

$2\displaystyle{\sum_{r = 1}^{\frac{p-1}{2} }} \dfrac{((p-1)!)^2}{r^2} \equiv \displaystyle{\sum_{r = 1}^{p-1}} \dfrac{((p-1)!)^2}{r^2} \pmod{p}$

ทำให้ $4((p-1)!)^2\dfrac{a}{b} \equiv 3\displaystyle{\sum_{r = 1}^{p-1}} \dfrac{((p-1)!)^2}{r^2} \pmod{p}$

เนื่องจากทุก $r \in \{1,2,...,p-1\}$ จะมี $x_r \in \{1,2,...,p-1\}$ เพียงจำนวนเดียวซึ่งไม่ซ้ำกันซึ่ง $rx_r \equiv 1 \pmod{p} $

นั่นคือ $((p-1)!)^2 \equiv 1 \equiv r^2x_r^2 \pmod{p}$

$\dfrac{((p-1)!)^2}{r^2} \equiv x_r^2 \pmod{p} $

$\displaystyle{\sum_{r = 1}^{p-1}} \dfrac{((p-1)!)^2}{r^2} \equiv \displaystyle{\sum_{r = 1}^{p-1}}x_r^2 = \displaystyle{\sum_{r = 1}^{p-1}}r^2 = \dfrac{(p-1)p(2p-1)}{6} \equiv 0 \pmod{p}$

ทำให้ $p \mid 4 ((p-1)!)^2 \dfrac{a}{b}$ แต่ $p \nmid 4\dfrac{((p-1)!)^2 }{b}$ ได้ว่า $p\mid a$

มีตรงไหนผิดมั้ยครับ

ปล.ไม่เข้าใจว่าทำไมต้องเขียนเป็น $(-1)^{p-2} $ ในเมื่อ $p-2$ เป็นคี่อยู่แล้ว