[warut]

ข้อ 1.
เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ x = 3^2u โดยที่ u ฮ (-ฅ, ฅ) สมการก็จะกลายเป็น
4^u - 3^u = 1
ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่า u = 1 (นั่นคือ x = 9) เป็นรากอันนึงของสมการ

ให้ f(u) = 4^u - 3^u - 1
เมื่อ u ฃ 0 จะเห็นว่า f(u) < 0 แสดงว่า f(u) ไม่มีรากในช่วง (-ฅ, 0]
เนื่องจาก f'(u) = 4^u ln4 - 3^u ln3
ดังนั้น f'(u) > 0 สำหรับทุก u > 0
แสดงว่า f(u) เป็น strictly increasing function ในช่วง [0, ฅ)
เราจึงสามารถสรุปได้ว่า f(u) มีราก u = 1 เพียงรากเดียว

ข้อ 2.
cos⁸A - sin⁸A
= (cos²A + sin²A)(cos²A - sin²A)(cos⁴A + sin⁴A)
= (1)(cos2A)((cos²A + sin²A)² - 2cos²A sin²A)
= cos2A(1 - 2cos²A sin²A)
= cos2A(1 - (sin²2A)/2)
= cos2A(1 + cos²2A)/2

ให้ x = cos2A
ดังนั้น x(1 + x²)/2 = 5/27
นั่นคือ 27x³ + 27x - 10 = 0
แยกตัวประกอบจะได้ (3x - 1)(9x² + 3x + 10) = 0
เนื่องจาก 9x² + 3x + 10 > 0 เสมอ
ดังนั้น x = cos2A = 1/3

ข้อ 3.
เนื่องจาก sin3A + sinA = 2sin2A cosA
และ cosA - cos3A = 2sin2A sinA
ดังนั้นทางขวาของสมการโจทย์จึงมีค่าเท่ากับ cotA

tan20ฐ + 4sin20ฐ
= (sin20ฐ + 4sin20ฐcos20ฐ)/cos20ฐ
= (sin20ฐ + 2sin40ฐ)/cos20ฐ
= ((sin20ฐ + sin40ฐ) + sin40ฐ)/cos20ฐ
= (2sin30ฐcos10ฐ + sin40ฐ)/cos20ฐ
= (cos10ฐ + cos50ฐ)/cos20ฐ
= (2cos30ฐcos20ฐ)/cos20ฐ
= ึ3

นั่นคือ tanA = 1/ึ3
ดังนั้น tan2A = ึ3