[gon]

ในเบื้องต้น เรานิยาม n! = n(n - 1)(n - 2)...(3)(2)(1) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ครับ. ดังนั้นปกติแล้วเวลาเขียนถอยหลังหรือแทนค่า เราจะให้มันไปหยุดที่ 1 เท่านั้น แต่ต่อมาเราต้องการ 0! ให้มันเกิดขึ้นมาเพื่อให้ค่าอย่าง ⁿC₀ มีความหมาย หรือ ความหมายในเชิงคอมบินาทอริค คือ จำนวนวิธีในการจัดของ 0 สิ่ง ทำได้ 1 วิธี เมื่อสร้างมันขึ้นมาจึงต้องไม่ให้เกิดข้อขัดแย้งกับหลักที่ว่า n! = n(n - 1)! หรือ ความหมายในเชิงคอมบินาทริค อย่างที่น้อง M@gpie หรือ Tummy แสดงให้ดู

สำหรับนิยามของ n! บนจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราจะอาศัยฟังก์ชันแกมมา (Gamma Function) กล่าวคือ สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน z ที่มี Re(z) > 0, \( \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1}e^{-t} dt \quad \)

เมื่อรู้จักกับ Gamma Function แล้วค่าของ Factorial สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จะนิยามจาก \[ z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^ze^{-t} dt \] เช่น \( (\frac{-1}{2})! = \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \quad \)
ค่าของ z! ตามนิยามนี้ จะใช้ไม่ได้เมื่อ z เป็นจำนวนเต็มลบ เพราะจะทำให้ได้จำนวนอินฟินิตี้ บนระนาบเชิงซ้อน

สำหรับเหตุผลอีกแบบสำหรับทำไมที่ว่า \(a^0 = 1\) สำหรับทุกจำนวนจริง เมื่อ a น 0 อาจจะมาจาก Exponential Series \[a^x = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \cdots \quad -\infty < x < \infty \]
จะเห็นได้ชัดเจนว่าถ้าแทน x = 0 จะได้ว่า a⁰ = 1 ดู ตารางตรีโกณมิติ และ ลอการิทึม ประกอบครับ.