[Oriel]

$1\bullet$ สำหรับแต่ละจำนวนจริง $x$ ให้สัญลักษณ์ $[x]$ แทนจำนวนเต็มตัวมากสุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ ให้ $A$ แทนเซตของจำนวนจริง $a$ ทั้งหมดซึ่งไม่ใช่จำนวนลบที่ทำให้สมการ $4[an]=n+[a[an]]$ เป็นจริงสำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n$ ข้อใดเป็นลักษณะของ $A$

1.เซตว่าง
2.เซตจำกัดที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวในช่วงเปิด $(2,4)$
3.เซตจำกัดที่มีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัวและเป็นเซตย่อยของช่วงเปิด $(-1,5)$
4.เซตอนันต์ซึ่งทุกสมาชิกมีค่ามากกว่า $1$

$2\bullet$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.สำรับแต่ละจำนวนเต็ม $n>6$ ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $n^2(n^2+16)=720k$ แล้ว $n-1$ และ $n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่
ข.สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $n>6$ ถ้า $n-1$ และ $n+1$ ต่างเป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจะมีจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $n^2(n^2+16)=720k$
ข้อใดถูก

$3\bullet $ จำนวนทั้งหมดของลำดับอนันต์เลขคณิต $\{a_n\}^\infty _{n=1}$ ของจำนวนเต็มซึ่งมี $2$ และ $2012$ อยู่ในสิบพจน์แรกเท่ากับเท่าใด

$4\bullet $ ข้อใดเป็นจำนวนของจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^2-3$ เป็นตัวหารของ $n^4+5n^3-4n^2-15n+45$
1. 5$\quad $2. 6$\quad $3. 7$\quad $4. 8

$5\bullet$ ให้ $\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และทำให้ $g$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย
$$g(x)=(\cos x-\sin x-1)(\cos x+\sin x+1)$$ สำหรับทุกๆ $x \in \mathbb{R}$
ถ้า $A=\{\theta\in \mathbb{R} \;|\;g(\theta)$ มีค่ามากที่สุด$\}$ และ $B=\{\beta \in \mathbb{R} \;|\;g(\beta )$ มีค่าน้อยที่สุด$\}$ ข้อใดเป็นค่ามากสุดของ $g(\theta+\beta)$ โดยที่ $\theta\in A\cap [-\pi,\pi]$ และ $\beta \in B\cap [-\pi,\pi]$
1.$\frac{\sqrt{3}}{4}(3-\sqrt{3})^2$
2.$\frac{\sqrt{3}}{4}(3+\sqrt{3})^2$
3.$\frac{\sqrt{3}}{4}(1-\sqrt{3})^2$
4.$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{3})^2$

$6\bullet$ ให้ $n$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $1\leqslant r\leqslant n$ และ $A=\{1,2,3,...,n\}$ ข้อใดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวน้อยสุดของสับเซตทั้งหลายของ $A$ ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $r$ ตัว

$1.\sum_{k = 1}^{n-r+1}\binom{k}{1}\binom{n-k}{r-1}$
$2.\sum_{k = 1}^{n}\binom{k}{1}\binom{n-k}{r-1}$
$3.\sum_{k = 1}^{n-r+1}\binom{n-1}{r-1}$
$4.\sum_{k = 1}^{n}\binom{n-1}{r-1}$