อ้างอิง:
|
1) จงหาจำนวนเต็ม x ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x}$ และ $\sqrt{x-\sqrt{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม
|
ให้ $\sqrt{x}=m$ $\ \ \ m\geqslant 0$
$x=m^2$
$\sqrt{x-\sqrt{x}}=\sqrt{m^2-m}=n$ $\ \ \ n\geqslant 0$
$m^2-m=n^2$
${(m-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}=n^2$
${(m-\frac{1}{2})}^2-n^2=\frac{1}{4}$
$(m+n-\frac{1}{2})(m-n-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
ให้ m+n=a และ m-n=b จะได้ a เป็นจำนวนเต็มบวก,b เป็นจำนวนเต็ม
$(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
$2ab=a+b$
$b=\frac{a}{2a-1}$
เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $\frac{a}{2a-1}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
$\therefore a=0,1$
$m=0,1$
$x=0,1$