[Pitchayut]

ให้ $d=(x,y), x=da, y=db, \dfrac{xy^3}{x+y}=p^3$

จะได้ $\dfrac{ab^3}{a+b}=\dfrac{p^3}{d^3}$

สังเกตว่า $(ab^3, a+b)=1$

กรณีที่ 1 $p\mid d$

ให้ $p=kd$ สมการกลายเป็น $ab^3k^3=a+b$

เพราะว่า $ab^3\mid a+b$ และ $(ab^3,a+b)=1$ นั่นคือ $ab^3=1$

ดังนั้น $a=b=1$ แทนแล้วได้ $k^3=2$ เกิดข้อขัดแย้ง

กรณีที่ 2 $p\nmid d$

ดังนั้น $(p^3,d^3)=1$

และสมการกลายเป็น $ab^3d^3=(a+b)p^3$

เพราะว่า $a+b\mid ab^3d^3$ และ $(a+b,ab^3)=1$ จะได้ $a+b\mid d^3$

เพราะว่า $d^3\mid (a+b)p^3$ และ $(d^3,p^3)=1$ จะได้ $d^3\mid a+b$

แต่ $a,b,d\in\mathbb{N}$ จะได้ $a+b=d^3$ ซึ่งแทนกลับได้ $ab^3=p^3$

กรณีที่ 2.1 $a=1, b=p$

จะได้ $p=d^3-1=(d-1)(d^2+d+1)$ ซึ่งทำให้ $d-1=1\Rightarrow d=2$

แทนกลับได้ $x=2, y=14$ เป็นคำตอบ

กรณีที่ 2.2 $a=p^3, b=1$

จะได้ $d^3=p^3+1$ เป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีจำนวนกำลังสามสมบูรณ์สองจำนวนเรียงติดกัน

สรุปว่ามีคำตอบเดียวคือ $(x,y)=(2,14)$