สวัสดีครับ ปีนี้ผมก็เสร็จจากเข้าค่าย 1 ตั้งนานแล้วนั่นแหละ แต่ต้องปั่นงานที่โรงเรียน เลยไม่ได้มีเวลามาโพสอ่ะครับ
งั้นเริ่มเลยแล้วกัน
ข้อสอบปิดค่าย 1
Logic
1.เราสามารถปูตารางขนาด $2^n x 2^n$ ที่นำสี่เหลี่ยมที่มุมใดมุมหนึ่งออกไปด้วยตารางขนาด $2x2$ ที่นำ
สี่เหลี่ยมที่มุมใดมุมหนึ่งออกไปได้เสมอ
NT
1. จงแสดงว่า $\frac{2n!}{2^n} $ เป็นจำนวนเต็มทุกๆ $n$ เป็นจำนวนนับ
2. จงแสดงว่า $\frac{2^2n+1+5^n+3}{7}$ เป็นจำนวนเต็มทุก $n$ เป็นเลขคู่
3.จงแสดงว่า ถ้า $\frac{a^2+b^2+c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มแล้ว $\frac{a^2}{4} ,\frac{b^2}{4} ,\frac{c^2}{4} $ เป็นจำนวนเต็มด้วย
4.จงแสดงว่า มี $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้ $10^n+1$ เป็นจำนวนประกอบ
Combinatorics
1. มีตึก 7 ชั้น และมีบันได 2 ข้าง มีลิฟต์ 2 ตัว ตัวแรก จอดได้เฉพาะชั้น 1 5 7 ตัวที่สองจอดได้เฉพาะชั้น 1 3
จงหาจำนวนวิธีที่จะขึ้นจากชั้น 1 ไปยังชั้น 7
2. มีหนังสือ 13 เล่มที่ต่างกัน จัดใส่กล่อง 3 กล่อง โดยแต่ละกล่องจะมีหนังสืออย่างน้อย 2 เล่ม จะจัดได้กี่วิธี
3. จงหาค่าของ $\frac{1}{1} \binom{n}{0} +\frac{1}{2} \binom{n}{1} +...+\frac{1}{n+1} \binom{n}{n} $
Algebra
1.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
$x^2+2y^2+3z^2+4x+5y+6z+7=0$
2. จงแยกตัวประกอบของ $abc(a+b+c)+bcd(b+c+d)+cda(c+d+a)+dab(d+a+b)+(ab+cd)^2$
3. กำหนดให้
$a=\sqrt{45+\sqrt{14+a} } $
$b=\sqrt{45-\sqrt{14+b} } $
$c=\sqrt{45+\sqrt{14-c} } $
$d=\sqrt{45-\sqrt{14-d} } $
จงหา $abcd$
Geometry
1.1 สามเหลี่ยม ABC ลากเส้นมัธยฐานจากจุด A B C พบด้านตรงข้ามที่ Q M N ตามลำดับ เส้นมัธยฐาน
พบกันที่จุด O ให้ P แบ่งครึ่ง BO จงแสดงว่า NPOQ เป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน
1.2 ถ้า NP ตั้งฉาก BM BM ยาว 5หน่วย AQ ยาว 7 หน่วย จงหาพื้นที่ สี่เหลี่ยม NOQP
2. สามเหลี่ยม ABC เป็น สามเหลี่ยมมุมแหลม ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม A พบ
BC ที่จุด D จากจุด D ลากเส้นตั้งฉากกับ AO พบ AC ที่จุด P จงพิสูจน์ว่า AP = AB
Inequalities
1. จงแสดงว่า $x^2+y^2+1\geqslant \frac{x(y+2)+y(x+2)}{2} $ อสมการเป็นสมการเมื่อใด
2.จงหาค่าสูงสุดของ $(10-x)^2(5+x)$ โดย $x$ มีค่าระหว่าง $-5$ ถึง $5$
3. $a, b, c$ เป็นด้านของ สามเหลี่ยม
จงแสดงว่า $\frac{a+b+c}{\sqrt{2} } \leqslant \sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2} +\sqrt{c^2+a^2} $
พิจารณาด้วยว่าอสมการเป็นสมการเมื่อใด
Complex Number
1.ไม่แน่ใจ รู้สึกว่า ถ้า $|\frac{3+2zi}{2-3z} \leqslant 1|$ แล้ว $|z| \leqslant 1$
2.ให้ $W$ และ $\bar W $ เป็นรากสังยุคของสมการ $z^6+(1+i)z^3+i=0$
ให้ $a=|w-\bar w |^4$
จงหาค่าของ $(-1+i)^a$