อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by
33. กำหนด $ a_n = \frac{1}{n^2\sqrt{n+1}(n+2)}$
พิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนนับ n $$ \sum_{i=1}^n a_i < \frac{1}{2\sqrt{2}} $$
|
ผ่านไปร่วม 2 เดือนแล้ว งั้นผมขอเฉลยแล้วกันครับ
อันดับแรก ผมจะพิสูจน์ก่อนว่า $$ a_n < \frac{1}{2n^2(n+1)} $$
$$ a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{n^2(n+1)(n+2)} = \sqrt{\frac{n+1}{n^2}}\cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)} < \sqrt{(\frac{1}{n}+\frac{1}{2})^2}\cdot \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$
จากนั้น take sum เข้าไปครับ
$$ \sum_{i=1}^n a_i < \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2(i+1)} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n (\frac{1}{i^2}- ( \frac{1}{i}- \frac{1}{i+1})) < \frac{1}{2}(\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}- \sum_{i=1}^\infty ( \frac{1}{i}- \frac{1}{i+1})) = \frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{6}-1) < \frac{1}{2\sqrt{2}} $$
ข้อนี้ก็เป็นข้อหนึ่งจาก Mathscope ของเวียดนาม แต่ผมคิดว่ามีวิธีอื่นที่ ไม่ต้องอ้าง $ \sum \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}$ แต่ ณ ชั่วโมงนี้ ผมยังคิดวิธีนั้นไม่ออก เพียงแต่ว่าวิธีผม มันลด upper bound ลงไปจากเดิมได้นิดหน่อย
จริงๆ ถ้าใครว่าง ก็ลองมาช่วยกันลด upper bound ก็จะดีครับ อยากรู้ว่า มันจะลงไปได้ถึงเท่าไหร่
