[nongtum]

คำเตือน: อย่าเชื่อจนกว่าจะได้ทดเอง

16. ค?? \[{\sqrt{3^{2n}-3^n+1}-\sqrt{3^{2n}}
=\frac{-3^n+1}{\sqrt{3^{2n}-3^n+1}+\sqrt{3^{2n}}}
=\frac{-1+1/3^n}{\sqrt{1-1/3^n+1/3^{2n}}+1}
{\buildrel{n\rightarrow\infty}\over{\rightarrow}}{-\frac{1}{2}}}
\]

17. ก. ให้ตัวแรกเป็น a₁ อัตราส่วนร่วมเป็น r จะได้ \(a_1r^5(1+r^3)=52=(-2)(-26)=(-2)(1+(-3)^3)\) นั่นคือ r=-3

23. ก. ให้ P มีพิกัดเป็น P(c,x) จากโจทย์จะได้ b:a=x:c หรือ x=cb/a แทน P ในสมการวงรีจะได้ 2(c/a)²=1 หรือ \(e=c/a=1/\sqrt{2}\)

27. ให้ a=log₃(x+y) จะได้
\(a^2+(\frac{1}{a})^2=2-(x+1)^2
\Leftrightarrow(a-\frac{1}{a})^2+(x+1)^2=0
\Leftrightarrow({a=\frac{1}{a}\wedge{}x=-1})\)
นั่นคือ (x,y)=(-1,4), (-1,4/3)

28. แยกตัวประกอบสองเทอมแรกด้วยสูตรผลต่างกำลังสามและเอกลักษณ์ฟังก์ชันตรีโกณฯ จะได้\[
3(\sin{x}\cos{x})^2-\alpha\sin{x}\cos{x}-1
=3(\sin{x}\cos{x}-\frac{\alpha}{6})^2-\frac{a^2}{12}-1\le0
\Leftrightarrow(3\sin{2x}-\alpha)\le\alpha^2+12\]
เนื่องจาก \(-1\le\sin{2x}\le1\) จะได้ว่า \((\pm3-\alpha)^2\le\alpha^2+12\) (ไม่แน่ใจนะครับว่าทำแบบนี้ได้ไหม)
แก้ทีละอสมการ แล้วนำคำตอบมา intersect กัน จะได้ว่าอสมการนี้จึงเป็นจริงทุกจำนวนจริง \(\alpha\in[-0.5,0.5]\)

29. จำนวนเต็มใดๆเมื่อยกกำลังสองแล้วหารด้วยสามจะหารลงตัวหรือได้เศษเป็นหนึ่ง เราจะคิดแจงกรณีดังนี้
กรณีแรก: เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด 2⁵=32 วิธี
กรณีที่สอง: เลือกจำนวนจากจำนวนที่หารสามไม่ลงตัวอย่างเดียว ได้ทั้งหมด \({9\choose0}+{9\choose3}+{9\choose6}+{9\choose9}=170\) วิธี
รวมทั้งสิ้น 32*170-1=5439 วิธี (Thank you nong Nithi)

30. ตาราง 9x9 มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 1+4+9+...+81=285 รูป ไว้คิดออกหรือมีคนอื่นตอบได้ก็เชิญตอบได้นะครับ

32. จัดรูปใหม่แล้วแยกตัวประกอบจะได้ (n-2)(m-5)=10 นั่นคือ (m,n)=(3,15),(4,10),(7,7),(12,6)

33. จำนวนเต็มสามหลักนี้ต้องหารด้วยสามสิบลงตัว จะได้ว่าหลักหน่วยของเลขนี้เป็นศูนย์ ผลบวกของเลขโดดไม่เกินสิบแปด เราจึงพิจารณาจำนวนจาก 120,150,180,...,540 ตามเงื่อนไขโจทย์ จะได้ว่า 270 ตัวเดียวเท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไขทั้งหมด

edit1: แก้ข้อ 17,27,28,29,30