[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์คู่ขนานของข้อ $5$ แต่ง่ายกว่า

จงหาจำนวนจริง $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการ

$$
(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
$$
เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$

แทน $a=b=c$ จะไดัว่า $k \ge \sqrt[3]{9} -1$
ให้ $A=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},B=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}$
จะแสดงว่า $k=\sqrt[3]{9} -1$ ทำให้อสมการเป็นจริง
$k^3+Ak^2+Bk+1 \ge A+B+3$
จาก $(k+1)^3=9$
$\Leftrightarrow A+B+3+(3-A)k^2+(3-B)k \le 9$
$\Leftrightarrow A(k^2-1)+B(k-1) \ge 3k^2+3k-6 $
เนื่องจาก $k=\sqrt[3]{9} -1 > 1$
ดังนั้น $A(k+1)+B \ge 3(k+2)$
หรือ $(A-3)k+(A-3)+(B-3) \ge 0$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ $AM-GM$
ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของจำนวนจริง $k$ คือ $\sqrt[3]{9} -1$