[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe

2. จงหาฟังก์ชัน $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

$ f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1 $

สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$

เพิ่มเติมอีกวิธี(ในเฉลย)นะครับ
แทน $y =0$ จะได้ $ f(-1) +f(x)f(0) = -1 $
แต่ constant function ไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น $f(0) = 0$
แทน $x=y=1$ ทำให้ได้ว่า $f(1) = 1,-1$
แทนค่า $y= 1$ ในสมการเริ่มต้นจะได้ $f(x-1) + f(x)f(1) = 2x-1.......(1)$
แบ่ง case $f(1)=1$ และ $f(1)=-1$
แทน $x$ ด้วย $xy$ ใน $(1)$
จะได้ $f(xy-1)+f(xy)f(1)=2xy-1$ (ตรงนี้ครับที่สวยมากๆ)
ถ้า $f(1)=1$ ไดัว่า $f(xy)=f(x)f(y)$
แล้วใช้ $(1)$ แก้หา $f(x)$ ออกมาจะได้ $f(x)=x$
ถ้า $f(1)=-1$ ทำในทำนองเดียวกัน
จะได้ $f(x)=-x^2$ ครับ