เขียนออกมาเป็น algorithm ดีๆสิครับ อย่างวิธีของคุณสามารถเขียนได้ดังนี้
1. เลือก $n_1$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด ซึ่ง $a_{n_1} < a$ (เลือกได้เพราะ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$)
2. ถ้ามี $n_1,n_2,...,n_k$ แล้วซึ่ง $\displaystyle \sum_{i=1}^k a_{n_i} < a$ จะเลือก $n_{k+1}$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดมากกว่า $n_k$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^k a_{n_i}+a_{n_{k+1}}<a$ (เลือกได้อีกเพราะ $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$ เช่นกัน)
algorithm นี้เป็น algorithm ที่ถูกต้องแล้วครับ
แต่สังเกตว่ายังไม่ได้ใช้อีกข้อมูลหนึ่งเลย ($\displaystyle \sum_{i=m}^\infty a_i=\infty$)
คราวนี้ขั้นตอนต่อไปจะเอามาเชื่อมกับ $\epsilon$ ยังไงครับ
ลองคิดเองก่อนแล้วค่อยเปิด hint ก็ได้ครับ
1. $\displaystyle \sum_{i=m}^\infty a_i=\infty$ เป็นการบอกว่ามี $M$ ไม่จำกัดจำนวนซึ่ง $M$ ไม่อยู่ในลำดับ $n_k$ (ลองพิสูจน์ดูครับ)
2. ดังนั้น for large enough $M$, $a_M < \epsilon$ เป็นการเชื่อมโยงกับ $\epsilon$ ครับ
Ps. เวลาคิดโจทย์แบบนี้แนะนำให้คิดก่อนมาต้องวางแผน proof ยังไงบ้างๆ การคิด algorithm เริ่มจากคิดก่อนว่าอยากทำอะไรๆ แล้วถ้ามันต้องใช้เครื่องมืออย่าง infremum มันจะตามมาเองครับ