[passer-by]

ตอนที่ 1

7. By Cauchy schwarz's inequality

$ 1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+ \frac{y}{3}+ \frac{y}{3}+ \frac{z}{4}+\frac{z}{4}+ \frac{z}{4}+ \frac{z}{4} \leq \sqrt{2x^2+3y^2+4z^2}\sqrt{2(\frac{1}{4})+3(\frac{1}{9})+4(\frac{1}{16})} $

หรือ $ 2x^2+3y^2+4z^2 \geq \frac{12}{13} $

และ สมการเป็นจริง เมื่อ มี l>0 ซึ่ง
x=l/2
y=l/3
z=l/4

แก้สมการ และแทนค่ากลับไป จะได้ x= 6/13

8. ให้ $ t=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} $

จากโจทย์จะได้ $ s^2 = (a+b+c) + 2t = 9+2t $
ขณะเดียวกัน $ t^2= (ab+bc+ca)+ 2\sqrt{abc}(s) = 11 +2s $

กำจัด t ให้หมดไป จะได้ $ s^4-18s^2-8s = -37 $

9.

พิจารณา $ \frac{(n+1)^3}{n(n-1)} - \frac{(n-1)^3}{n(n+1)} = \frac{1}{n}\bigg (\frac{(n+1)^4-(n-1)^4}{n^2-1} \bigg ) = \frac{1}{n}\bigg (\frac{8n(n^2+1)}{n^2-1}\bigg )= 8(1+\frac{2}{n^2-1}) $

ถ้า n= 2548 เทอมในวงเล็บจะเข้าใกล้ 1 ดังนั้น คำตอบข้อนี้ คือ 8

13.
ให้ x แทนจำนวนดังกล่าว

ดังนั้น $ 10^{1862}-1 = 9x $

By Fermat's little theorem $ 10^{58}\equiv 1\pmod {59} $ และ $ 10^{16}\equiv 1\pmod {17} $

เพราะ $1856 = 2\cdot 58 \cdot 16 $ ดังนั้น
$ 10^{1856}\equiv 1 \pmod {59} $ และ $ 10^{1856}\equiv 1 \pmod {17} $

และเพราะ (59,17)=1 ทำให้ $ 10^{1856} \equiv 1 \pmod {59\cdot 17} $

ดังนั้น $ 10^{1862}-1 \equiv 10^6-1 \pmod {59\cdot 17} $
หรือ $ 9x \equiv 10^6-1 \pmod {1003} \equiv (10^3+1)(10^3-1) \pmod {1003} \equiv 9(111)(1001) \pmod {1003} \equiv 9(111)(1003)- 9(111)(2) \pmod {1003} $

Simplify เป็น $ x \equiv -222 \pmod {1003} \equiv 781 \pmod {1003}$

ขณะเดียวกัน $ x \equiv 781 \pmod {2} $ ด้วย และเพราะ (1003,2)=1 ดังนั้น $ x \equiv 781 \pmod {2006} $
คำตอบ คือ 781

18.

แปลงปัญหาเป็น มีวิธีเลือก เลข 10 ตัว จาก {1,2,...,31} กี่วิธีที่ ไม่มี 2 ตัวใดติดกัน

สมมติมีเลข 1 10 ตัว และเลข 0 อีก 21 ตัว

จำนวนวิธีเรียงเลข 0,1 ดังกล่าว โดย 1 แยกกันหมด หรือ $ {22 \choose 10}$จะเทียบเท่ากับคำตอบ ข้อนี้ (โดยให้หลักซ้ายสุดคือเลข 1 นับไปเรื่อยๆ จนถึงหลักขวาสุด คือ เลข 31)

ตอนที่ 2
4.
ข้อนี้เป็นคำถามยอดฮิตใน combinatorics เลยครับ คาดว่าคนตั้งโจทย์คงดัดแปลงมาจาก คำถามที่ว่า ถ้าระบายสี 2 สี บน lattice grid แล้วจะมีสี่เหลี่ยมมุมฉากอย่างน้อย 1 รูป ที่จุดมุม ทาสีเดียวกัน

เนื่องจาก กลุ่มหนึ่งมี 7 คน โดยหลักรังนกพิราบ จะมีอย่างน้อย 4 คนที่เพศเดียวกัน สมมติเป็นชาย
พิจารณาสมาชิกกลุ่มที่เหลืออีก 3 กลุ่มที่มีหมายเลข ตรงกับ 4 คนดังกล่าว (เท่ากับคิดเฉพาะ 12 คนนี้) แล้วแบ่งเป็น 2 กรณี
(1) ถ้า มี 2 คนในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งที่เหลือ มี เพศชาย , proof complete
(2) สำหรับแต่ละกลุ่มที่เหลือ ถ้ามีสมาชิกอย่างมาก 1 คน เป็นชาย หรือเท่ากับว่า อย่างน้อย 3 คนเป็นหญิง ก็จะหาคุณสมบัติที่โจทย์ต้องการได้เช่นกัน สำหรับกรณีเพศหญิง

ข้อนี้อธิบายยากจัง ถ้าใครไม่เข้าใจ ลองวาดรูปตามหรือดูจาก lattice grid จะง่ายที่สุดครับ

ข้อ 16 ตอบ 7²⁵⁴⁹ หรือเปล่าครับ

p.s. น้อง tummykung check pm ด้วยครับ