อ่า โทษทีครับ ผมเช็คแค่ quote ล่าง เพราะเหมือน quote บนเจ้าตัวจะบอกว่าเองว่าผิดไปแล้ว
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$
|
สำหรับ quote บน ผมทำมาได้ตรงกันถึงตรงที่ว่า "ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิม" ครับ อันนี้จะได้ว่า
$yf(x)+f\big(x(f(x+y)-x)\big)=f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$
(ตรงนี้ยังตรงกันอยู่ครับ)
ทีนี้ พอบอกว่า แทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ ก็จะกลายเป็นเงื่อนไขถ้า-แล้ว
"ถ้า $x=f(x+y)$ แล้ว $yf(x+y)=f(yf(x+y))$"
จากนั้นแทน $x$ ด้วย $x-y$ ลงในเงื่อนไข จะได้
"ถ้า $x-y=f(x)$ แล้ว $yf(x)=f(yf(x))$"
ทำให้ติดปัญหาความอิสระของตัวแปรคล้ายเดิมครับ