ที่ผมได้ยินมา โจทย์ข้อ 2, 6 มันมีใจความเหมือนข้างล่างน่ะครับ ก็เลย quote มาแก้ให้นิดหน่อย (ถ้าผมเข้าใจผิดก็บอกด้วยนะครับ)
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa
มาแล้ว วันที่2 (10คะแนน)
2. ให้ $x,y\in \mathbf{Z} $และ $a,b\in \mathbf{R} $ ซึ่ง
$ (2551x+2008y+a)^2+(2008x-2551y-b)^2 \leq 1623^2 $
จงพิสูจน์ว่าทุก $ a,b \in \mathbf{R} $ จะมี $ (x,y) \in \mathbf{Z \times Z} $ ที่ทำให้ อสมการ เป็นจริงอย่างมาก1 คู่อันดับ
6. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ สร้างวงกลมแนบใน จะเกิดจุดที่วงกลมสัมผัสกับสามเหลี่ยม3จุด ให้ลากเป็นสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่า อนุพันธ์อันดับ1 จากนั้นสร้างวงกลมแนบในอนุพันธ์อันดับ 1 แล้วเชื่อมจุดสัมผัส จะได้สามเหลี่ยมที่เรียกว่า อนุพันธ์อันดับ 2 ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ
จงพิสูจน์ว่า ถ้าอนุพันธ์คู่ใดๆ คล้ายกันแล้ว อนุพันธ์ทุกคู่ต้องคล้ายกัน
|
ถ้าโจทย์เป็นแบบนี้แล้ว ข้อ 2 ผมจัดรูปได้เป็น $$ \big(x+ \frac{2551a-2008b}{2008^2+2551^2}\big)^2 + \big(y+ \frac{2008a+2551b}{2008^2+2551^2}\big)^2 \leq \frac{1623^2}{2008^2+2551^2}$$
เพราะ $ \frac{1623^2}{2008^2+2551^2} < \frac{1}{4} $
แสดงว่าวงกลมรัศมีน้อยกว่า $ \frac{1}{2}$ หน่วย
และเห็นได้ชัดว่าวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่า 1 หน่วย ไม่สามารถ cover lattice หรือคู่อันดับของจำนวนเต็มได้มากกว่า 1 จุด เนื่องจาก lattice 2 จุดใดๆห่างกันมากกว่าหรือเท่ากับ 1 หน่วยเสมอ
-------------------------------------------------------------------------------------
6. ถ้าให้ $ A_1, B_1, C_1 $ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ 1 โดย $A_1,B_1,C_1$ ตรงข้ามมุม A,B,C ตามลำดับ และสำหรับ $n > 1$ แล้ว $ A_n ,B_n ,C_n$ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ n โดย $A_n,B_n,C_n$ ตรงข้ามมุม $A_{n-1},B_{n-1},C_{n-1}$ ตามลำดับ
เราสามารถเขียน recurrence relation ได้ไม่ยากว่า $ A_{n+1} = \frac{-1}{2}A_n +\frac{\pi}{2}$ (ส่วน $B_n ,C_n$ define คล้ายกัน ) subject to $ A_0=A , B_0=B ,C_0=C$
solve ออกมาจะได้ $$A_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(A- \frac{\pi}{3})$$ $$B_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(B- \frac{\pi}{3})$$ $$C_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(C- \frac{\pi}{3})$$
จากสูตรที่ได้ เรา impose condition ที่ว่ามี 2 คู่เป็นสามเหลี่ยมคล้ายเข้าไป จากนั้นทำอะไรจุกจิกเกี่ยวกับพีชคณิตนิดหน่อย จะพบว่า สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ ดังนั้น อนุพันธ์ที่ตามมาทุก n ก็จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย
p.s. ส่วนใครที่ post ว่า มั่วข้อ 4 ถูกเนี่ย ถ่อมตัวไปหรือเปล่าครับ ผมคนนึงล่ะที่ไม่เชื่อว่าเลข 7 มาจากการมั่ว
