ข้อ 3 ผมใช้ AM-GM-HM
ข้อ 4 ผมใช้ Cauchy-Schwarz
พิสูจน์
ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$
โดย อสมการ AM-GM จะได้ว่า
$(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geqslant 6$
$3(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})
\geqslant 2(3+(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}))=2((a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} ))$
$\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2}{3}(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )$.............(*)
โดยอสมการ GM-HM
$\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} }\leqslant \sqrt[3]{abc}$
$ (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc} }$
$ \frac{2(a+b+c)}{3} (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$.........................(**)
จาก(*)และ(**)
จะได้ว่า
$\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$
$1+\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+1\geqslant 2+\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$
$\therefore (1+\frac{a}{b} )(1+\frac{b}{c} )(1+\frac{c}{a} )\geqslant 2(1+\frac{(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} })$ ตามต้องการ
พิสูจน์
ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz จะได้ว่า
$\frac{a}{\sqrt{2ab+3ac}}(\sqrt{2ab+3ac})+\frac{b}{\sqrt{2bc+3ba}}(\sqrt{2bc+3ba})+\frac{c}{\sqrt{2ca+3cb}}(\sqrt{2ca+3cb}) \leqslant \sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}\sqrt{2ab+3ac+2bc+3ba+2cb+3ca}$
$a+b+c\leqslant \sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}\sqrt{5(ab+bc+ca)}$
$\frac{a+b+c}{\sqrt{5(ab+bc+ca)} }\leqslant\sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}$
$\frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)}\leqslant (\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})=\frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$........(*)
และ โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า
$\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geqslant ab+bc+ca$
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geqslant 3(ab+bc+ca)$
$(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)$..................(**)
จาก (*) และ (**) จะได้ว่า
$\frac{3(ab+bc+ca)}{5(ab+bc+ca)}\leqslant \frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$
$\therefore \frac{3}{5}\leqslant \frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$ ตามต้องการ