ผมจำไม่ได้เหมือนกันว่าตอนสอบเขียนไปแบบไหน แต่แบบนี้ก็ใช้ได้เหมือนกัน
ให้ $S=\{(y,b)\in\mathbb{N}^2\mid 1\le y\le 100, 1\le b\le 100\}$ ที่ $|S|=2559$ แทนเซตของเหรียญปัตตาโน
ให้ $T=\{((y_1,b_1),(y_2,b_2))\in S^2\mid (y_1=y_2)\vee (b_1=b_2)\}$
นั่นคือ $T$ เป็นเซตของคู่ของเหรียญปัตตาโนที่ประกบกันได้
เราจะหาขอบล่างของ $|T|$ โดยการแบ่งออกเป็น 2 เซต
ให้ $T_1=\{((y_1,b_1),(y_2,b_2))\in S^2\mid y_1=y_2\}$
และ $T_2=\{((y_1,b_1),(y_2,b_2))\in S^2\mid b_1=b_2\}$
เนื่องจากไม่มีเหรียญปัตตาโน 2 เหรียญใดเหมือนกัน เพราะฉะนั้นจะได้ $T_1\cap T_2=\varnothing $
จาก $T_1\cup T_2=T$
จะได้ $|T|=|T_1|+|T_2|$
ให้ $N_y(x)=|\{(y,b)\in S\mid y=x\}|$ และ $N_b(x)=|\{(y,b)\in S\mid b=x\}|$
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{\sum_{i=1}^{100}N_y(i)=2559}$
โดยหลักการนับเบื้องต้น จะได้
$|T|=\displaystyle{\sum_{i=1}^{100}P_{2}^{N_y(i)}=\sum_{i=1}^{100}N_y(i)^2-N_y(i)=\left(\sum_{i=1}^{100}N_y(i)^2\right)-2559}$
จากอสมการโคชี-ชวาร์ช $(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2\le(1^2+1^2+1^2+...+1^2)(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)=n(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2)$
นั่นคือ $|T|=\displaystyle{\sum_{i=1}^{100}N_y(i)^2-2559\ge \dfrac{2559^2}{100}-2559}$
การหาขอบล่างของ $|T_2|$ สามารถทำได้ในทำนองเดียวกัน
เพราะฉะนั้น $|T|\ge 2\left(\dfrac{2559^2}{100}-2559\right)$
สำหรับแต่ละ $s=(y,b)\in S$ นิยาม $A(s)=\{(y_1,b_1)\in S\mid (y=y_1)\vee (b=b_1)\}$
นั่นคือ $A(s)$ เป็นเซตของเหรียญปัตตาโนที่ประกบกับ $s$ ได้
ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{s\in S}|A(s)|=|T|\ge 2\left(\dfrac{2559^2}{100}-2559\right)}$
โดยหลักค่าเฉลี่ย จะมี $t\in S$ ที่ทำให้ $|A(t)|\ge \dfrac{2}{2559}\left(\dfrac{2559^2}{100}-2559\right)=49.18$
ดังนั้น $|A(t)|\ge 50$ นั่นคือมีเหรียญปัตตาโนที่สามารถประกบกับเหรียญอื่นได้ 50 เหรียญตามต้องการ