$cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
$$lim_{x\to 0}\frac{x^2-2+2cosx}{x^4}=lim_{x\to 0}\frac{x^2-2(1-cosx)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{x^2-2(1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}-...)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}\frac{(\frac{2x^4}{4!}-\frac{2x^6}{6!}+...)}{x^4}$$ $$=lim_{x\to 0}(\frac{2}{4!}-\frac{2x^2}{6!}+...)=\frac{2}{4!}=\frac{1}{12}$$
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