อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง
$7.\ ให้\ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ เป็นฟังก์ชัน\ จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน\ f\ ที่สอดคล้องกับ$
$3f(-n^2+3n+1)-2f(n)^2=5$ $สำหรับทุกๆ\ จำนวนเต็ม\ n\ หรือไม่\ เพราะเหตุใด\ ถ้ามี\ จงยกตัวอย่างฟังก์ชัน\ f\ ดังกล่าว$ |
ลองแทนตัวเลขเล่นแล้วจะได้ว่า $n=1,3$ ทำให้เกิดสองสมการของ $f(1)$ และ $f(3)$ จากนั้นก็แสดงให้เห็นว่าระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ จึงสรุปได้ว่าไม่มีฟังก์ชันใดสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชันนี้
แทน $n=1,3$ ได้
$3f(3)-2f(1)^2 = 5$
$3f(1)-2f(3)^2=5$
เพื่อความสะดวก ให้ $x=f(1)$ และ $y=f(3)$ นั่นคือ
$3y-2x^2=5$
$3x-2y^2=5$
จัดรูป $y$ ให้อยู่ในรูปของ $x$ แล้วแทนค่าสงในอีกสมการ ได้ว่า
$2(2x^2+5)^2-27x+45 = 0$
ต่อไปจะพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริง $x=f(1)$ ที่สอดคล้องสมการนี้
โดย AM-GM กับข้างในวงเล็บ ได้อสมการ
$2(2x^2+5)^2-27x+45 \ge 2(4 \cdot 10x^2)-27x+45 = 80x^2-27x+95$
ซึ่งพหุนามกำลังสอง $80x^2-27x+95$ มี discriminant เป็น $\Delta = 27^2-4 \cdot 80 \cdot 95 < 0$ และสัมประสิทธ์นำเป็นบวก จึงได้ว่าพหุนามนี้มีค่ามากกว่า 0 เสมอ แสดงว่าไม่มีจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องสมการดังกล่าว และทำให้ไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ตามต้องการ