แบบนี้ได้มั้ยครับ
ข้างซ้ายก่อน: เนื่องจาก x, y, z เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันสองตัว ดังนั้น
$$\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+zx}+\frac{z^2}{z^2+xy} > \frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}$$
โดย Cauchy Schwarz จะได้
$$\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy} \geqslant \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx} = 1$$
ข้างขวา: เนื่องจาก $\frac{x^2}{x^2+yz}=1-\frac{yz}{x^2+yz}$
ดังนั้น เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$\frac{yz}{x^2+yz}+\frac{zx}{y^2+zx}+\frac{xy}{z^2+xy}\geqslant 1$$
จัดรูป $\frac{yz}{x^2+yz}=\frac{(yz)^2}{x^2yz+(yz)^2}$
โดย Cauchy Schwarz จะได้
$$\frac{(yz)^2}{x^2yz+(yz)^2}+\frac{(zx)^2}{y^2zx+(zx)^2}+\frac{(xy)^2}{z^2xy+(xy)^2} \geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+x^2yz+xy^2z+xyz^2}=1+\frac{x^2yz+xy^2z+xyz^2}{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+x^2yz+xy^2z+xyz^2} \geqslant 1$$
Equality holds (ผมนึกคำไทยไม่ออก
) เมื่อ $x, y, z$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ เพียงตัวเดียว