สิ่งที่ต้องเตรียมก่อนทำคือ
1. $1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2 = \dfrac{n}{3}(2n-1)(2n+1)$
2. $1?2?3+2?3?4+3?4?5+...+n(n+1)(n+2) = \dfrac {n}{4}(n+1)(n+2)(n+3)$
แล้วจะได้ $a_n = \dfrac{1}{(2n-1)}? \dfrac {1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2}{1?2?3+2?3?4+4?5?6+...+ n(n+1)(n+2)}$
เอาสิ่งที่เตรียมยัดลงไปได้ $a_n = \dfrac{1}{(2n-1)}? \dfrac {n(2n-1)(2n+1)/3}{n(n+1)(n+2)(n+3)/4}$
จะตัดกันได้ $a_n = \dfrac {4(2n+1)}{3(n+1)(n+2)(n+3)}$
จัดรูปได้ $a_n = \dfrac{10}{3}?[\dfrac{1}{(n+2)}-\dfrac{1}{(n+3)}]-\dfrac{2}{3}?[\dfrac{1}{(n+1)}-\dfrac{1}{(n+2)}]$
ดังนั้น $S_n = \dfrac{10}{3}[\dfrac{1}{(3)}-\dfrac{1}{(n+3)}]-\dfrac{2}{3}[\dfrac{1}{(2)}-\dfrac{1}{(n+2)}] = \dfrac{10n}{9(n+3)} -\dfrac{2n}{6(n+2)}$
จะได้ว่า $S_n = \dfrac{7n^2+11n}{9(n+2)(n+3)} = \dfrac{7+11/n}{9+45/n+54/n^2}$
เมื่อ $ n \rightarrow \infty $ จะได้ $S_n = \dfrac{7}{9}$
|